DOGMA

Hamdi Mlika

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La contribution de Maurice Caveing dans la mise au jour de l’universalisme omniculturel des mathematiques


Philip J. Davis écrit dans un article intitulé « Les aspects humanistes des mathématiques et leur importance » (Publié dans Essays in Humanistic Mathematics, Mathematical association of America (1993) un ouvrage collectif édité par Alvin White) : « Si les mathématiques ne sont plus ce réservoir atemporel de vérités éternelles » et « si elles exhibent des traits humanistes, nous pouvons donc attendre d’elles qu’elles relancent les valeurs humanistes».
« L’humanisme des mathématiques, écrit Thomas Tymoscko, dans son article « les aspects humanistes et utilitaires des mathématiques », publié dans le même ouvrage, veut dire essentiellement que les mathématiques ont besoin d’une perspective, et une perspective humaine est la seule possible...Il n’y a pas de réponse définitive à la question : Qu’es-ce qui est important dans les mathématiques ? Nous pouvons tout simplement nous demander en quoi les mathématiques sont importantes pour des êtres humains comme nous ayant telles ou telles capacités et telles ou telles limites par rapport à un point donné du développement (historique) des mathématiques ....La composante humaine impose sens et intelligibilité aux mathématiques ; elle impose une perspective humaine aux complexités arbitraires de l’univers mathématiques. »
Du point de vue de Maurice Caveing (1923- ), auteur de la trilogie La constitution du type mathématique d’idéalité chez les Grecs (Presses universitaires du septentrion, Tome (1) 1996, tome (2) 1997, Tome (3) 1998) la recherche d’un point de commencement historique supposé pour les mathématiques est un faux problème : les mathématiques seraient l’aspect « humaniste » le mieux partagé entre les cultures. Les mathématiques auraient le privilège de refléter dans leur essence même cette vérité.
L’insistance sur les aspects anthropologiques et culturels allant de pair avec l’explication inter-théorique des mathématiques et avec l’histoire de leur procédures, montre comment ce savoir-faire qui s’étale sur des millénaires s’édifie sur l’effort des êtres humains et sur rien d’autre : les mathématiques n’ont pas leur origine dans une réalité perceptible en soi, et la structure neuro-biologique (le cerveau) ne suffit pas à rendre compte de la production des concepts mathématiques par l’être humain, car cette structure est elle-même « informée » au sens des scolastiques par une expérience multiforme qui s’est développée au cours de l’histoire dans laquelle l’homme a assimilé une multitude de relations.
Le mot « humanisme » appliqué aux mathématiques et à leur histoire est quasi équivalent dans la pensée de Maurice Caveing à deux choses : 1/ ce que nous pouvons appeler l’universalisme omniculturel (qui est, pour beaucoup, l’un des traits de l’objectivité des mathématiques) : c’est-à-dire la conjonction au sein d’un même mouvement de l’universalité et des différences culturelles, et 2/ ce que nous pouvons appeler l’humanisme dans le sens où les mathématiques sont fabriquées et inventées par les êtres humains, et ne nous viennent pas d’une sorte de « troisième monde » par le truchement d’un dévoilement ou d’une contemplation.
Il faut insister dès maintenant sur le fait que l’humanisme chez Caveing est tout le contraire d’une démarche purement culturaliste et psycho-mentaliste qui chercherait à « identifier, dans une certaine région de « l’homme », un terrain où l’on va assister à la naissance de concepts, y compris les plus élaborés et les moins immédiats, les saisir en quelque sorte à l’état natif, et pouvoir ainsi en percer le secret. »[1]
Je vais essayer dans mon exposé d’expliciter et d’exhiber ces deux sens en tant qu’ils constituent en vérité deux concepts inter-reliés dans la pensée de Maurice Caveing sur les mathématiques.
Bien qu’il se dise non positiviste, Caveing partage avec le positivisme en général – et Auguste Comte en particulier – une idée centrale : faire de l’épistémologie des mathématiques via leur histoire sans aucun recours à la métaphysique.
La métaphysique est représentée ingénieusement selon Caveing par la doctrine platonicienne des Idées. Reposant sur une confusion entre la représentation de l’objet idéal et son essence, le platonisme crée un pseudo-concept (il faut noter que les mots de concept et d’objet sont bien entendu des termes inappropriés pour Platon l’historique) : le concept de l’objet mathématique en soi.
Contrairement à Cavaillès, par exemple, qui écarte la question du platonisme de la façon la plus rapide, le platonisme reste néanmoins, pour Caveing, une menace permanente : la pensée épistémologique de Caveing est dans un débat toujours ouvert et – on peut dire aussi, toujours inachevé – avec l’explication platonicienne de la nature de l’activité mathématique. Les solutions données par Caveing ont certains traits en commun avec un platonisme conceptualiste naturalisé. Mais Caveing s’en défend avec acharnement : si l’on supprime les systèmes de numération culturellement déterminés, ayant existé dans l’histoire empirique, que reste-t-il ?
D’ailleurs, le type d’idéalité en mathématiques est, historiquement parlant, platonicien, et tout le défi de Caveing, surtout dans Le problème des objets dans la pensée mathématique (Vrin, 2004), comme il l’était pour Desanti dans Les Idéalités mathématiques(1978), consiste à rendre compte de ce caractère idéal propre aux objets mathématiques en dehors de leur contexte platonicien originel.
Mon article se divise donc en trois parties :
(1) Si l’épistémologie des mathématiques chez Caveing nous renvoie à l’histoire des mathématiques, dans quel sens doit-on comprendre la dimension historique des mathématiques chez lui ?
(2) Si l’étude des procédures mathématiques nous renvoie à un humanisme culturel, (les mathématiques trouvent leur racine avant tout, et non d’une manière exclusive bien sûr, dans la pratique humaine, particulièrement la pratique du langage et de l’écriture symbolique), comment doit-on comprendre la dimension humaniste des mathématiques chez Caveing ?
(3) Si les humanismes des mathématiques nous renvoient à une variété de représentations liées à des conditions culturelles et sociales distinctes, comment doit-on comprendre l’universalisme omniculturel des concepts mathématiques ?

L’universalité recherchée à travers l’historicité des mathématiques en tant que valeur épistémologique, n’est pas une universalité apriorique, mais plutôt humaniste et anthropologique. Ce type d’universalité étroitement lié à l’humanisme des mathématiques cherche surtout à éviter deux raisons d’échec : le relativisme culturel et l’hétérogénéité radicale des cultures.
Il faut se méfier en utilisant des notions telles que positivisme ou humanisme dans le cas de la pensée de Caveing car nous pouvons facilement tomber dans des contresens. Les relations entre mathématiques, humanismes, et positivismes ne sont pas si simples : elles ont des ramifications beaucoup plus complexes, que ce soit sur le plan historico-politique ou celui épistémo-sémantique.
Si le type de rationalité scientifique que défend Caveing n’a pas les couleurs du positivisme (et surtout pas du positivisme empirique et logique), il est incontestablement le socle d’une pensée rationnelle critique et non naïvement empirique.
L’universalité des mathématiques chez Caveing n’est pas absolue : elle n’est pas une universalité d’esprit ou de conscience. Elle est plutôt liée à la fonction langagière, au corps, et à la pratique. Elle existe, et se manifeste sous une forme bien spécifique que la notion d’universalité omniculturelle résume parfaitement : les concepts mathématiques possèdent une structure indépendante de leurs déterminations culturelles (mais ces dernières ne sont pas indépendantes d’elle) qui manifeste ses effets et imposent ses propriétés (objectives) à tous les mathématiciens (qu’ils soient grecs, babyloniens, ou arabes, ou indiens, etc.) : le caractère nécessaire de cette structure que nous trouvons dans toutes les cultures témoigne en faveur de son objectivité en tant que telle, et son indépendance donne raison à la possibilité des variantes ethno-culturelles elles-mêmes.
Caveing rejette la thèse que toutes les cultures se valent. La thèse de l’ethno-mathématique arrive moins à discréditer l’européocentrisme qu’à mettre en valeur la possibilité des variantes culturelles des différents systèmes mathématiques ayant existé à travers l’histoire sur la base des propriétés universelles et nécessaires des idéalités mathématiques. Il ne faut pas commettre l’erreur de dire que dans toutes les cultures, la représentation des entiers, par exemple, est la même, et finir par dénoncer sur cette base la nature artificielle de la supériorité d’un système de représentation par rapport à un autre. A l’origine de cette erreur se trouve très probablement la confusion, dans le cas des entiers, par exemple, entre la représentation du type de numération et le concept lui-même. La distinction entre les deux doit être claire : le concept de nombre entier est indépendant des systèmes de numération, mais les système de numération ne sont pas indépendants de lui, ce qui explique comment tous les systèmes ont certains traits en commun. Tous ces systèmes sont conformes au concept, même s’ils ne le savent pas  : C’est l’universalité et la nécessité des idéalités mathématiques qui expliquent pourquoi les ethno-mathématiques peuvent être différentes.
Le concept de nombre n’existe pas en soi dans un ciel intelligible : il fonctionne comme un pôle de régulation, naturalisé, « historisé » et « humanisé », certes, au cœur même de ce qui est proprement objectif dans les idéalités mathématiques elles-mêmes. L’erreur consiste à penser que tous les systèmes numériques donnent tous, sans distinction, la structure requise du concept en question, et ne sont en aucun cas indépendants de lui, c’est-à-dire qu’ils sont accompagnés du concept adéquat explicite de nombre entier.
Cette dépendance unilatérale entre le concept et la représentation révèle le fait que les nombres n’ont pas bénéficié, au sein de toutes ces cultures, des mêmes conditions pour être « représentés » et pour se développer. Dans chaque culture, les mathématiques ont eu un statut différent, car elles ont été associées à des rôles et à des fonctions sociales différentes : en tant que forme de la culture intellectuelle, elles sont liées comme les autres aux conditions historiques et sociales. Il ne faut pas cependant voir dans ces considérations d’ordre culturel, politique et social, une quelconque origine des mathématiques : elles n’ont pas d’origine ni de commencement en dehors d’elles-mêmes.

« La mathématique, écrit Desanti, produit elle-même son propre sol et il n’existe pas pour elle d’autre sol que celui qu’elle a produit et reproduit sans cesse...Il ne sert à rien de creuser le sol de la mathématique pour découvrir le sous-sol originaire secret...L’origine radicale (des mathématiques) ne se montre que dans le produit et du dedans. » (Desanti 1968, p.283).

D’un autre côté, il ne faut pas exclure ces considérations d’ordre anthropologique lorsqu’il s’agit de comprendre la nature de l’universalité en mathématiques, à condition de la comprendre à la lumière naturelle des différences culturelles.

« La bonne règle de méthode invite à maintenir fermement les différences, à douter des transferts et des influences induits de la seule vraisemblance ou de l’analogie, et à s’interdire les lectures rétrospectives. »[2]

Dans un article intitulé : « L’originalité radicale des Grecs en mathématiques tient-elle du miracle ? » (Le miracle grec : Actes du IIè colloque sur la pensée antique, 18-19-20 Mai 1989, à la faculté de Nice), Caveing explique un tel miracle, si miracle il y a, par l’existence de conditions culturelles liées à la spécificité des relations humaines à l’intérieur de la polis, à l’émergence d’une certaine forme de rationalité logique. De telles conditions n’existaient pas chez les Egyptiens ou les Babyloniens, ou les orientaux en général. Ces différences d’ordre culturel expliquent pourquoi les mathématiques en Grèce comportaient des aspects théoriques en œuvre, alors que les autres, surtout babyloniennes et ègyptiennes, étaient des mathématiques « calculantes » et opératoires. Mais il ne faut pas conclure là que c’est dans ces exigences culturelles que se trouve l’origine des mathématiques : les mathématiques n’ont pas d’origine en dehors des propriétés objectives, nécessaires et universelles des idéalités mathématiques elles-mêmes. Les mathématiques existent en elles-mêmes en tant que pratique opératoire de calcul dans toutes les cultures, et leurs concepts (même s’ils ne sont pas objectivement explicités) fonctionnent, avec des degrés variés, comme des pôles de régulation au sein de ces cultures. Ce n’est pas nécessairement en Egypte ou ailleurs que les grecs ont puisé leurs propres procédures, mais nous ne pouvons pas non plus dire que la mathématique grecque est une création ex nihilo. Si influences il y a entre les cultures, c’est dans la pratique mathématique elle-même et dans les propriétés des objets et des concepts mathématiques eux-mêmes qu’il faut les chercher.

« Les différences (entre les civilisations) sont très apparentes. Les deux mondes (Egypte et Babylone) semblent tout à fait étrangers l’un à l’autre. Je ne pense pas qu’on puisse mettre en évidence, aussi curieux que cela puisse paraître, une influence des uns sur les autres, mais il y a des points communs et notamment le fait que les procédures utilisées ne sont jamais justifiées. Il n’y a pas de démonstrations, il n’y a pas de théorèmes, il n’y a pas d’énoncés théoriques. Il y a des règles que l’on inculque au disciple en lui répétant des exemples de même type, des paradigmes sur des valeurs différentes, mais sans lui donner la raison des règles : le disciple doit ensuite s’y conformer et, en somme, répéter. »[3]

L’universalité des mathématiques veut dire que cette forme d’intellectualité qu’est la mathématique traverse les cultures dans tel ou tel moment de son histoire empirique, et laisse apparaître, au contact de la diversité des contextes et des exigences culturelles, certaines de ses caractéristiques essentielles au détriment d’autres. L’universalisme omniculturel joue en faveur de l’objectivité des mathématiques : « Le droit de parler, pour des lieux ou des temps divers, de « mathématiques » suppose que soient pensées ensemble les différences et l’universalité. En déterminant celles-là, le comparatisme bien conduit ne peut manquer de reconnaître celle-ci dans un même mouvement. » (Caveing 2004, p. 109)

« Dans quelle mesure ces exigences culturelles ont-elles déterminé l’introduction de l’argumentation dans la mathématique, alors que les civilisations de l’Orient ignorent une telle nécessité ? Il est difficile d’en décider historiquement. Mais la nature même de l’objet mathématique devait rapidement soumettre l’argumentation à des exigences de rigueur logique insoupçonnées dans la vie extérieure de la culture et de la civilisation, et ainsi la faire passer au stade de la démonstration. »[4]

Refuser que toutes les cultures se valent, ne veut pas dire qu’il n’y a rien de commun entre elles : les mathématiques démontrent le fait que les cultures ont beaucoup de choses en commun. « Des trésors communs de pensées » dirait Frege. Le fait qu’il n’y a pas dans les mathématiques babyloniennes, par exemple, des aspects discursifs, logiques, théoriques, etc., ne veut pas dire qu’elles sont moins mathématiques que les mathématiques grecques. Constater l’inexistence d’un aspect théorique et logique dans les mathématiques pré-grecque ne veut pas dire rejeter l’existence d’un « sens » dans le fait que ce qui guide le calculateur babylonien ou égyptien, ce sont bel et bien les propriétés objectives des êtres arithmétiques et géométriques eux-mêmes. L’humanité a du probablement attendre que se pose le cas de l’incommensurabilité de la diagonale du carré et voir que le processus de sa mesure ne peut être qu’illimité, pour passer du niveau strictement opératoire et calculatoire (qui fait la spécificité des mathématiques pré-grecques) au niveau prédicatif logique, et ce qui a favorisé ce passage dans la société grecque ce sont bel et bien les conditions culturelles de dialogue, de parole, et de liberté qui s’y sont trouvées.

« Lorsque l’objet mathématique lui-même, écrit Caveing, imposera le recours au prédicatif, la chose sera possible et la structuration logique du discours viendra à l’ordre du jour, la théorie mathématique au sens précis d’enchaînement théorématique apparaîtra. »[5]

« Les mathématiques sont une forme de la culture intellectuelle liée comme les autres aux conditions historiques et sociales. Sil y a un miracle des mathématiques grecques, il n’est pas dans le génie d’Archimède, ou de quelque Thalès qui en serait le proto-fondateur. Il est dans les conditions qui ont permis, voire exigé, cet exercice des pouvoirs intellectuels et la promotion de cette forme de rationalité : ce sont les conditions qui font la spécificité des relations humaines dans la polis, cette forme déterminée de liberté du citoyen que le barbare ne connaît pas. Mais la liberté, dans le cours de l’histoire, ne tient-elle pas toujours quelque peu du miracle ? »[6]

Il y a donc un temps propre à l’histoire interne des mathématiques que l’histoire des sciences a le mérite de dévoiler. Sur la base de ce temps des mathématiques retrouvé et redécouvert, il serait tout à fait faux d’identifier historicité et facticité :

«  Le sens d’idéalité de objets mathématiques s’est dévoilé au cours de l’histoire de la science, c’est-à-dire dans l’activité nécessaire pour venir à bout de certaines difficultés, après des siècles de pratique calculante, et je ne vois nulle part de « géomètre proto-fondateur », ni de sol originaire où les mathématiques, un jour, auraient pris naissance. Elles n’ont pas d’origine. quant à la subjectivité (transcendantale), c’est un effet spéculaire du champ : le sujet empirique qui fait des mathématiques se mire dans le champ opératoire et prédicatif, qui lui renvoie son image comme sujet transcendantal. »[7]

Au bout d’une analyse sur ce que nous pouvons appeler, à la suite des mathématiciens arabes, les « nœuds », il écrit :

« Nous constatons que trois possibilités s’offrent théoriquement pour noter les deux informations dont le nœud est porteur (= la puissance de la base et son coefficient)...Or, il est très remarquable que ces trois possibilités sont attestées historiquement. Cela signifie que l’humanité a exploité toutes les ressources que recèle la structure abstraite dégagée plus tard par l’algèbre. », (La recherche, p. 489.)

« Il est aussi important pour l’humanité de savoir écrire les nombres que de savoir écrire les mots....L’humanité n’a pas manqué d’imagination pour noter les nombres, et l’Europe en ce domaine fait plutôt figure d’écolière. Au moins, dira-t-on, a-t-elle inventé la binarité.  Erreur pourtant ! son premier usage connu se trouve chez les peseurs d’or africains... » (La Recherche : p. 491.)

Depuis Auguste Comte [« la philosophie des sciences ne saurait être convenablement étudiée séparément de leur histoire, sous peine de ne conduire qu’à de vagues et stériles aperçus » (Cours de philosophie positive, 28ème leçon)], il existe une ligne de tradition bien française en philosophie des sciences : le principe général d’une telle ligne est exprimée par cette phrase attribuée à Léon Brunschvicg : la science considérée en dehors de son histoire est une abstraction.
L’une des caractéristiques essentielles d’une telle ligne serait sans doute de considérer les mathématiques comme une activité historique, c’est-à-dire considérer les mathématiques avec une méthode qui met en évidence et explicite les procédures mathématiques elles-mêmes.

« Il n’y a d’épistémologie mathématique possible, écrit Desanti, qu’installée dans la mathématique elle-même. »[8]

Bien qu’elle soit spécifique et originale, l’appartenance de Maurice Caveing à cette ligne de tradition épistémologique bien française est incontestable, mais ce je voudrais questionner ici c’est le style selon lequel s’articule la forme de cette appartenance !

Dans « Qu’est-ce qu’un artefact en histoire des sciences? », Hommage à J-T Desanti, p. 137, Caveing écrit :

« Sans doute le cas des mathématiques est-il spécifique, en ce qu’il n’y a pas pour elles d’ « extérieur », en direction duquel on pourrait « sortir » des mathématiques pour contempler leur point d’ancrage dans une réalité plus primitive et absolue, esprit ou nature. »

Si la mathématique ne renvoie qu’à elle-même, ne doit-elle pas nécessairement renvoyer à son commencement historique ?
La consultation de l’histoire empirique et factuelle des faits mathématiques doit nous permettre nécessairement d’accéder à un autre type d’histoire qui est cette fois interne aux pratiques et aux procédures mathématiques elles-mêmes : la dimension historique des mathématiques est une dimension non empirique qui s’exprime par la manifestation du sens même qui habite la « mathématicité » depuis l’aube de l’humanité, quel que soit le contexte culturel, social et historique dans lequel elle se déploie.
La recherche du commencement historique est donc une illusion : elle ne peut être qu’un avatar de la quête de l’origine. 

« Ainsi, écrit-il, l’illusion du commencement est-elle liée à celle de la fin : elle consiste à se persuader que quelque chose a commencé là qui devait aboutir, sous une forme achevée, en tel point de l’histoire. »[9]

Le sens de l’historicité des mathématiques ne doit pas être saisi dans les termes d’un commencement historique et d’une quête de l’origine. Il n’y a pas de moment originaire où l’on verrait les mathématiques naître d’autre chose, et la question de leur origine est un faux problème. (c’est-à-dire une question dépourvue de sens).
Les mathématiques n’ont pas d’origine, et la question de l’origine des mathématiques est un faux problème.
Le recours à l’histoire, à l’historicité, vient au service d’une position épistémologique qui récuse systématiquement la thèse platonicienne (au moins dans sa version conceptuelle) et la thèse empiriste : Caveing reprend à son compte le point de vue de Desanti selon lequel les mathématiques ne sont ni du ciel ni de la terre ! D’abord, le réalisme des objets mathématiques est analysable : l’hypothèse d’un « ciel » intelligible est inutile et il n’existe pas un en soi mathématique, ensuite, les opérations mathématiques introduisent une rupture par rapport aux formes d’organisation offertes dans le champ de la perception. 
Pour Caveing, traiter les mathématiques comme une activité historique revient à dire que l’épistémologie des mathématiques ne doit pas s’opposer à leur histoire et que l’élucidation intra-scientifique dans le cas précis des théories mathématiques n’est pas suffisante, même s’il elle va de pair avec leur mise au jour historique : Nous avons besoin, en outre, d’une analyse de leur objectivité qui nous dévoile l’essence du travail mathématique mettant en évidence les systèmes de relations et de propriétés auxquels dont l’unité est constitutive des objets mathématiques en tant qu’objets idéaux !
Il est clair que nous ne pouvons comprendre d’une manière satisfaisante les thèse de Caveing indépendamment de la manière avec laquelle sont redéployés tous les thèmes husserliens dans Les Idéalités mathématiques de Desanti, où ce dernier « analyse en détail la liaison entre actes, objets et propriétés, et, plus précisément, la façon dont les actes instaurateurs d’opérations » définissent des positions d’objets corrélatifs. »
Les figures géométriques, les nombres, les ensembles, etc., les M-objets ne sont pas des objets réels au sens de choses, mais chacun consiste dans l’unité synthétique d’un système de relations. Les objets mathématiques n’ont en fin de compte de statut que relationnel et ne sont accessibles que dans le systèmes de possibilités réglées par les relations qui les définissent.

« Bien que l’historicité paraisse liée à l’incessante reprise de sens par des générations de mathématiciens, celle-ci n’est requise que par l’ouverture d’horizon infinie qui appartient à l’essence de l’objet mathématique. C’est en cette essence que se trouve fondée l’historicité des mathématiques. »[10]

Si le commencement est toujours commencement de....(Desanti), et si on n’assiste pas à la naissance des mathématiques, est-ce qu’elles apparaissent partout de la même façon ?

« Il n’a nullement été question dans (mes recherches) d’une « origine » de la mathématique, en quelque sens que l’on prenne ce terme, soit comme point zéro d’un devenir temporel, soit comme région, distincte d’elle, du réel du savoir, dans laquelle elle plongerait des racines et dont elle tirerait sa vie propre. Si des contextes divers de science, de culture, de civilisation ont dû être indiqués ici et là, ce fut seulement eu égard au fait que la place tenue par la mathématique dans ces contextes, à tel ou tel moment de l’histoire, a pu retentir sur les voies et les formes de son développement, mais non au sens où ils auraient – par quel miracle ! – donné naissance à ses objets. »[11]

Toute l’œuvre de Caveing consiste à montrer comment chaque société, et chaque civilisation humaine, a développé, parfois tout au long de son histoire, une mathématique qui tire, d’une manière omni-subjective, sa forme et son étendue des spécificités et des conditions culturelles de cette société humaine, mais ce développement lui-même est nourri par « une réeffectuation du sens qui est disponible en un point du champ mathématique ». Dans les mathématiques babyloniennes, l’idéalité mathématique n’est pas du tout exprimée dans les textes que nous possédons. Le concept d’objet idéal appliqué aux objets de la géométrie et de l’arithmétique est un concept qui apparaît dans la philosophie grecque : il ne faut pas projeter arbitrairement ce concept sur les autres systèmes et représentations. Ces systèmes n’ont pas tous la même productivité mathématique, mais ce qu’ils ont tous en commun, c’est le fait que les mathématiques produisent partout des résultats compatibles. En revanche, le langage, l’écriture, l’organisation de la vie en groupe, les traditions locales, le rapport à l’autre et au monde, l’existence d’une hiérarchisation des fonctions sociales, etc., tout cela intervient dans l’aspect culturel des mathématiques. Mais même s’ils différent, ces systèmes expriment les possibilités des idéalités mathématiques elles-mêmes et possèdent sur cette seule base beaucoup de points communs.
Si origine des mathématiques il y a, elle doit être recherchée non pas dans un ciel platonicien ou dans une empirie des perceptions visuelles ou autres, mais avant tout dans les caractères propres de la pratique mathématique. Cette « pensée opératoire » constitue bel et bien le socle de la dimension humaniste des mathématiques et de leur universalité, qui est bien sûr omnisubjective et omnitemporelle, mais aussi omniculturelle : c’est ainsi que se manifeste l’universalité apriorique des structures mathématiques.
En effet, Caveing utilise des ressources husserliennes, complétées par des considérations anthropologiques et ethno-mathématiques destinées à tester l’universalité des mathématiques comme manifestation essentielle de leur objectivité. « Cette objectivité, nous dit-il (Caveing 2004, p. 277), n’est pas fondée dans l’empirie, ni dans l’être d’objets, quels qu’ils soient, mais dans les conditions a priori du rapport d’un sujet concret au monde. »
Il y a dans les mathématiques une pensée, mais nous n’accédons à son champ propre celui des relations et des systèmes de relations symbolisés, que par le truchement des langages symbolisés appropriés. Cette conception est à l’antipode de l’entreprise empirique qui veut parvenir à rendre compte cérébralement des morphologies visuellement perçues, et arriver ainsi aux origines des concepts géométriquement en modélisant les mécanismes neuronaux de la perception.
La critique de cette illusion qualifiée de transcendantale parce qu’elle porte sur les conditions a priori de la connaissance, permet à Caveing de faire d’une pierre deux coups :
1/ éliminer l’intuition spatiale dans la théorie relationnelle des objets mathématiques : les relations intra-mathématiques seront ainsi libérées des données perceptives d’ordre morphologique.
2/ La critique de l’illusion transcendantale vide de tout sens le discours métaphysique qui traite les objets mathématiques comme des choses en soi.
Il s’agit, certes, de chercher les conditions de l’activité mathématique dans son histoire propre, mais les théories mathématiques, en tant qu’idéalités pures de relations spécifiées et symbolisées, ne peuvent être saisies et comprises dans leur objectivité, nécessité et universalité, que si elles sont placées non seulement dans leur histoire, mais surtout dans leurs contextes culturels, car si les mathématiques ne viennent pas d’un ciel platonicien, c’est parce qu’elles s’inscrivent dans les schèmes culturels des différentes civilisations.
Le caractère universel des mathématiques signifie que leurs théories doivent être soumises au même standard d’évaluation que n’importe quelle autre forme intellectuelle et culturelle de création humaine. Au lieu de les considérer comme transcendantes au temps et à l’histoire, car elles contiennent des vérités universellement acceptées et partagées dans toutes les cultures, les mathématiques trouvent un ancrage naturalisé dans le contexte social et culturel, et leur degré de développement dépend indirectement du degré de développement de ce contexte.


Conclusion

Les mathématiques, une fois débarrassées de leurs points d’attache métaphysiques grâce à un esprit rationnel, critique et surtout non naïvement empiriste, deviennent des mathématiques « humanistes », c’est-à-dire qu’elles apparaissent avant tout comme l’expression d’une unité insécable entre l’humanisme et l’universalisme omniculturel. Elles trouvent leur ancrage dans l’humanisme à condition qu’il soit compris comme inhérent à toutes les cultures et à toutes les civilisations au cours de l’histoire. Les mathématiques sont le fruit d’un travail humain qui s’opère par des détours dans la pensée, dans le langage et dans la pratique, et doit déboucher analytiquement sur une ouverture omnisubjective sur l’autre et sur le monde.
La critique de l’illusion transcendantale permet de prendre conscience des réifications inutiles et des idéalités qui n’émanent pas d’un réel esprit opératoire ce qui aboutit à leur élimination. Mais cela implique peut-être en dehors des mathématiques une reconnaissance du statut relationnel de l’être humain, agissant concrètement en interaction avec un seul monde auquel nous devons objectivement nous adapter par notre comportement, même s’il nous est donné subjectivement et culturellement de diverses façons.

« L’objet mathématique n’est constitué que dans ce jeu de rapports interhumains, de rapports interlangagiers, sinon il n’existe pas. Il n’y a pas de mathématiques, elles ne sont nulle part. Il y a des choses, elles sont entre nous ; les mathématiques sont entre nous ! Et bien, il faut se persuader de cela ! », disait Desanti, et nous pouvons rajouter avec Caveing, qu’il y a des relations, elles sont entre nous et le monde, et les mathématiques s’y enracinent.



Bibliographie

Caveing (Maurice),1976, « Les numérotations dans l’histoire », Revue la Recherche, Mai, N° 67, 1976. pp.488-491.
______, 1979, « Sur la constitution des mathématiques en sciences théoriques », Bulletin de la société française de philosophie, Avril-Juin 1979, séance du 27 Janvier 1979.
______, 1982a, Zénon d’Elée. Prolégomènes aux doctrines du continu. 2tude historique et critique des Fragments et Témoignages, Paris, Vrin.
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______ 1985, Le matin des mathématiciens, Belin.
______ 1989, « L’originalité radicale des Grecs en mathématiques tient-elle du miracle ? » dans : Le miracle grec : Actes du IIème colloque sur la pensée antique, 18-19-20 mai 1989, Nice.
______ 1990, « Quelques précautions dans l’emploi de l’idée de nombre », L’Homme 116, oct-déc.
______ 1994, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l’Egypte anciennes, Lille, Presses universitaires de Lille.
______ 1997, La Figure et le nombre. Recherches sur les premières mathématiques des Grecs, Lille, Presses universitaires du Septentrion.
______ 1998a, L’Irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu’à Euclide, Lille, Presses universitaires du Septentrion.
______ 1998b, « L’Histoire des mathématiques de l’Antiquité », Revue de Synthèse : 4è S. n° 4, Oct-Déc., p. 485-510.
______ 2004, Le problème des objets dans la pensée mathématique, Paris, Vrin.
White (Alvin), 1993, Essays in Humanistic Mathematics, publications de l’association américaine de mathématiques.



[1] Caveing : «  Quelques précautions dans l’emploi de l’idée de nombre », L’homme 116, oct-déc 1990, p. 155.
[2] Caveing 2004, p.109.
[3] Le matin des mathématiciens, Belin 1985, p. 27-28.
[4] Caveing 1998a, p. 331.
[5] Caveing 1979 : « Sur la constitution des mathématiques en science théorique » Bulletin de la société française de philosophie, LXXIII, p. 66.
[6] Caveing :  « Loriginalité des mathématiques tient-elle du miracle ? »
[7] Caveing 1979, p. 63.
[8] Desanti 1968, p. 286.
[9] Caveing 1991, p. 138.
[10] Caveing 2004, p. 53.
[11] Caveing 1998a, p 330.


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