L’historicité des mathématiques et
la question du platonisme chez Maurice Caveing
Y-a-t-il une ligne de tradition moderne spécifiquement
française dans le domaine de l’épistémologie
des mathématiques depuis les travaux philosophiques de Brunschvicg,
Cavaillès, ...etc., jusqu’à nos jours ?
Si une telle
ligne existe, quelles seraient ses caractéristiques les plus
distinctives ?
De l’aveu même de beaucoup
d’épistémologues, il me semble que l’une de ses
caractéristiques serait de considérer les mathématiques
comme une activité historique. Il y a, au sein de cette tradition, comme
un consensus sur ce point fondamental : traiter les mathématiques
comme une activité historique.
Quel est le sens philosophique
profond de cette caractérisation des mathématiques qui insiste sur
les aspects historiques ?
C’est ce que je vais essayer
d’analyser dans cet article, en prenant comme exemple
l’épistémologie des mathématiques de Maurice Caveing.
Disons-le dès maintenant que cette épistémologie ne
s’épuise pas dans la simple histoire des mathématiques,
même si on peut dire, sans exagération, que Maurice Caveing est
l’un des meilleurs spécialistes français de l’histoire
des mathématiques anciennes grecques et pré-grecques avec ses
trois volumes sur la constitution du type d’idéalité
mathématique dans la pensée grecque :
1994 :
Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et
l’Egypte anciennes.
Presses universitaires du septentrion,
Lille.
1997 : La figure et le nombre : Recherches sur les
premières mathématiques des Grecs, Presses universitaires du
septentrion, Lille.
1998 : L’irrationalité dans les
mathématiques grecques jusqu’à Euclide. Presses
universitaire du septentrion, Lille.
Mais doit-on noter qu’une
épistémologie des mathématiques serait tout le contraire
d’une réflexion philosophique, et par conséquent,
métaphysique qui conduirait à l’hypothèse du
platonisme sur les mathématiques : qu’on se rappelle
Jean-Toussaint Desanti (qui suit presque à la lettre Wittgenstein sur ce
point) et ses propos sur la mise à l’écart de toute
philosophie (disons générale) des mathématiques. (Desanti
écrit dans Les idéalités mathématiques, p.
286 : « il n’y a d’épistémologie
mathématique possible qu’installée dans la
mathématique elle-même »)
Je voudrais examiner dans
quel sens la pensée de Caveing est dite s’inscrire dans cette ligne
de tradition bien française qui insiste plutôt sur la
dimension historique des procédures mathématiques
elles-mêmes que sur autre chose : Je voudrais tenter de dévoiler la
nature des relations entre épistémologie et histoire dans le cas
précis des mathématiques chez Caveing.
Les deux axes de
cette mise au jour sont : 1° la thèse de l’origine des
mathématiques (qui est disons-le dès maintenant un faux
problème pour Caveing), et 2° la thèse du platonisme (qui est
une hypothèses que Caveing écarte d’emblée comme une
hypothèse métaphysique sans fondement).
Caveing
(Caveing 1991 p. 137) écrit :
« Sans doute le
cas des mathématiques est-il spécifique, en ce qu’il
n’y a pas pour elles
d’« extérieur », en direction duquel on
pourrait « sortir » des mathématiques pour contempler
leur point d’ancrage dans une réalité plus primitive et
absolue, esprit ou nature. »
Bien que Caveing soit parmi
les épistémologues des mathématiques qui rejettent la
thèse du platonisme comme doctrine sur le mode de constitution et
d’existence des objets mathématiques, tout en cherchant à
esquisser une compréhension de l’essence du travail
mathématique lui-même, qui tient compte de ses aspects strictement
historiques, sans tomber dans le piège de l’empirisme ni du
psychologisme ni du « cognitivisme » des spécialistes
des neurones comme Jean-Pierre Changeux et bien d’autres, nous trouvons
chez lui une volonté exprimée clairement dans son excellent
ouvrage : Le problème des objets dans la pensée
mathématique (Vrin, 2004), à développer une
stratégie philosophique lui permettant de se démarquer nettement,
dans sa manière d’expliquer notre accès aux objets
idéaux mathématiques, de la thèse platonicienne
(défendue par Cantor, Gödel, Quine, Alain Connes et par bien
d’autres encore) sans pour autant dénier les vertus de la
réflexion philosophique et surtout phénoménologique sur les
mathématiques.
Même si le livre est dédié
à la mémoire de Desanti, je pense qu’il serait une erreur de
réduire l’essentiel de la pensée de Caveing sur les
mathématiques aux travaux de Desanti dans Les
idéalités (1968) et dans La philosophiesilencieuse (1975) et dans bien d’autres publications.
Bien qu’ils
s’inscrivent tous deux dans cette ligne de tradition bien française
d’une épistémologie historique des procédures
mathématiques (Jacques Dubucs parle d’une aphilosophie des
mathématiques chez Desanti[1]),
Caveing développe des thèses d’une grande originalité
sur l’objectivité phénoménologique des êtres
mathématiques et sur leur identité strictement relationnelle et
non objectale.
Tout le contenu du livre Le problème des objets
dans la pensée des mathématiques, que ce soit la partie
descriptive ou celle dite positive qui présente le programme
lui-même est mis au service d’une seule tâche :
déconstruire l’identité des objets mathématiques
comme des objets naturels ou des objets abstraits, et fonder une théorie
de leur identité relationnelle dans les conditions a priori du rapport
d’un sujet concret au monde.
Il reste vrai que nous ne pouvons saisir
d’une façon nettement satisfaisante ces thèses
indépendamment de la manière avec laquelle sont
redéployés tous les thèmes husserliens dans Desanti 68,
où Desanti (voir Petitot 1991, p. 247) « analyse en
détail la liaison entre actes, objets et propriétés, et,
plus précisément, la façon dont « les actes
instaurateurs d’opérations » définissent des
positions d’objets corrélatifs. »
Dans quel
sens doit-on comprendre l’appartenance de Caveing à cette tradition
épistémologique française qui incarne la dimension
historique des mathématiques comme l’un de ses
caractéristiques les plus essentielles ?
Dans quel sens
doit-on comprendre le caractère historique des
mathématiques ?
Réponse
I :
Si la mathématique ne renvoie qu’à
elle-même, comme le veut Caveing, ne doit-elle pas nécessairement
renvoyer à son commencement historique ?
La
réponse de Caveing à cette première version du
problème est claire :
« La consultation de
l’histoire des mathématiques, dans sa
« facticité », bien loin de se tenir au niveau
d’un empirisme extrinsèque, doit permettre d’accéder,
moyennant les ré-effectuations requises, à l’histoire non
empirique de la manifestation du sens même qui habite la
mathématicité. »(C 2004, p. 53)
La
thèse du commencement est une illusion (C 1991 p. 136):
« La recherche chimérique du fantôme du commencement est
un avatar de la quête de l’origine. »
Réponse II :
Le caractère
historique peut-il être aussi compris dans les termes d’une
recherche de l’origine « historique » des
mathématiques ?
Desanti (dans un entretien avec Caveing
pour la revue Raison Présente, repris dans Marxisme et
épistémologie, Ed. 10/18, 1972) nous dit qu’il y a
plusieurs manières de chercher l’origine : chercher le
commencement (Thalès)... : « le commencement est toujours
commencement de...Ici, il n’y a pas de commencement absolu. On
n’assiste pas à la
naissance. »
« Ainsi, écrit Caveing (C
1991, p. 138), l’illusion du commencement est-elle liée
à celle de la fin : elle consiste à se persuader que quelque
chose a commencé là qui devait aboutir, sous une forme
achevée, en tel point de l’histoire. (Cette présence de la
fin dans le commencement.....) »
Réponse
III :
Y-a-t-il des faits premiers dans l’histoire des
mathématiques ?
La réponse de Caveing à
cette question est négative : les mathématiques ont
commencé bien avant les Grecs et bien avant les Eléments d’Euclide.
« Si le recours à l’histoire
a le mérite de ramener vers les procédures mathématiques
elles-mêmes, il a aussi d’autres effets discutables, notamment celui
de transposer la quête de l’ « origine »,
pensée par Husserl dans le registre transcendantal, sur le terrain de la
recherche des commencements historiquement réels. »(C2004, p.
55)
Caveing adhère tout à fait à cette
affirmation de Desanti (D. 1968, p. 283) :
« La
mathématique produit elle-même son propre sol et il n’existe
pas pour elle d’autre sol que celui qu’elle a produit et reproduit
sans cesse...il ne sert à rien de creuser le sol de la
mathématique pour découvrir le sous-sol originaire secret et
mathématiquement muet sur lequel elle serait née...jamais on ne
se trouvera confronté à l’événement de
l’origine radicale : elle ne se montre que dans le produit et du
dedans.. »
Il est clair que la réflexion
épistémologique de Caveing sur les mathématiques est
irréductible à une simple description de l’histoire des
mathématiques.
Pour Caveing, traiter donc les mathématiques
comme une activité historique signifie que leur
épistémologie ne s’oppose pas à leur histoire, et que
l’élucidation intra-scientifique dans le cas précis des
théories mathématiques n’est pas suffisante, même si
elle va de paire avec leur mise au jour historique : nous avons en plus
besoin d’une analyse transcendantale de leur objectivité !
Cette analyse nous dévoile l’essence du travail mathématique
car elle met à découvert les systèmes de relations et de
propriétés auxquels sont attachés les objets idéaux
en général : leur mode de constitution au sein de la
théorie mathématique.
Les figures, les nombres, les
ensembles,...etc., les M-objets, en général, ne sont pas des
objets réels, durables et permanents, au sens de choses, mais des
relations :
« Les objets mathématiques
n’ont de statut que relationnel et ne sont accessibles que dans le
système des possibilités réglées ouvertes par les
relations qui les définissent. » (D.1975, p.226)
Il
est sûr que Caveing utilise des ressources husserliennes
complétées par des considérations anthropologiques et
culturelles pour mettre au jour une théorie
phénoménologique et historico-épistémologique de
l’objectivité mathématique.
« Cette
objectivité, nous dit-il, n’est pas fondée dans
l’empirie, ni dans l’être d’objets, quels qu’ils
soient, mais dans les conditions a priori du rapport d’un sujet concret au
monde »(C2004, p. 277)
Par le biais de cette méthode
philosophico-épistémologique, Caveing renvoie donc dos à
dos l’empirisme (avec sa version moderne qu’est le cognitivisme) et
l’idéalisme (avec sa version toujours ancienne qu’est le
platonisme synonyme plus que jamais de métaphysique.) :
« Nous savons, la question de l’ontologie convenant aux
mathématiques est une question vide » (C 2004, 267)
Les
mathématiques ont une pensée conceptuelle et relationnelle, et
sans symbolisation de relations et de systèmes de relations nous
n’accèderons guère à son champ propre : cette
conception sonne le glas de l’échec de l’entreprise
empirico-cognitiviste qui veut parvenir à rendre compte d’une
manière cérébrale des morphologies visuellement
perçues et arriver aux origines des mathématiques en
modélisant les mécanismes neuronaux de la perception.
Le
concept d’illusion transcendantale permet à Caveing de faire
d’une pierre deux coups :
1/ éliminer, d’abord,
l’intuition spatiale dans la théorie relationnelle des structures
mathématiques : les relations intramathématiques restent
irréductibles aux structures du comportement perceptif, 2/montrer ensuite
comment l’illusion transcendantale vide de tout sens le discours
platonicien sur des objets traités comme des choses en
soi...
Il s’agit de chercher les fondements des
mathématiques dans leur propre histoire, certes, mais, les
théories mathématiques, « en tant
qu’idéalités pures de relations spécifiées et
symbolisées » (Caveing p. 276) ne peuvent être comprises
dans leurs raisons et leurs nécessités internes que si elles sont
placées non seulement dans leur histoire, mais aussi dans leur
environnement culturel, car les mathématiques s’inscrivent aussi
dans un schème conceptuel propre à une culture donnée.
(C’est là l’un des apports par rapport à
Desanti : qu’on se rappelle la fin de l’entretien entre Caveing
et Desanti et sur quoi il ouvre).
Dans quel sens doit-on comprendre donc
le caractère historique des mathématiques ?
Le
caractère historique peut signifier aussi : soumettre les
théories mathématiques au même standard
d’évaluation que n’importe quel autre produit culturel ou
forme culturelle de création humaine. Au lieu de les traiter comme
transcendantes à l’histoire et au temps, car elles contiennent des
vérités universellement acceptées et partagées,
ayant leur socle dans un ciel platonicien imaginaire, les mathématiques
sont enracinées dans le contexte social et culturel, et leur degré
de développement dépend directement ou indirectement du
degré de développement de ce contexte.
Nous pouvons donc
parler chez lui de l’importance du facteur historique
considéré aussi dans sa signification anthropologique et
culturelle. Même dans ces conditions, le but recherché n’est
sans doute pas une simple description de l’histoire des inventions et des
procédures mathématiques, mais une réflexion
épistémologique réelle qui cherche à dégager
le sens d’une pensée mathématique tout en évitant le
piège de la « chosification » de l’analyse
opératoire elle-même lorsqu’il devient question
d’élaborer un discours sur le type d’idéalités
déployée par les objets mathématiques.
Ce trait
caractéristique de l’épistémologie française
des mathématiques depuis Brunschvicg et bien avant explique sans doute la
mise à l’écart de la question du platonisme : ces
philosophes, même parmi les idéalistes critiques, la rejettent de
la manière la plus rapide.
Caveing ne rame pas non plus contre ce
courant : le platonisme reste une thèse intenable et ne la discute
que très rarement.
Comment Caveing explique-t-il le processus
qui conduit à l’idéalisation de l’objet
mathématique tout en écartant le platonisme comme
l’expression épistémologique de ce processus ?
L’explication du processus d’idéalisation
mathématique lui-même n’est pas philosophique, il n’est
pas aphilosophique non plus : il advient dans des termes strictement
épistémo-historique ! L’objet mathématique
n’est pas une chose, mais c’est un objet idéal....Il
dépend (pour exister !!!) des systèmes de
propriétés et de relations qui le caractérisent...sans ces
systèmes, l’objet mathématique reste
muet...
Caveing écrit (C 2004, p.54-55) : « On y
assiste à l’infinitisation de l’acte opératoire qui se
reproduit dans son identité structurelle alors même que la longueur
mesurée, en tant que figurée dans le sensible, semble interdire
par sa finitude son itération indéfinie...Par un tel processus,
l’objet se trouve donc idéalisé, c-à-d projeté
dans un au-delà, non seulement de toutes les déterminations
physiques des réalités mondaines, mais aussi de toutes les
déterminations représentables des idéalités
morphologiques. Par là se manifeste sa structure objective idéale,
qui normait en vérité les actes opératoires dans la mesure
de leur enchainement....on assiste à la séparation entre
l’idée et la figure, au passage de la représentation au
concept pur. L’objet géométrique, la ligne droite par
exemple, est posé comme un objet en soi, indépendant de toute
hypothèse faite sur ses réalisations physiques ou
figurées...On ne s’étonnera pas que ce soit à propos
de ce cas précis que Platon choisisse de caractériser
l’idéalité géométrique en employant
l’expression « la diagonale en soi », l’opposant
ainsi, aussi bien qu’à ses mesures approchées, à la
diagonale tracée.
Mais prenons garde que l’intervention de
l’Idée platonicienne fait partie de l’interprétation
de la situation. La question de l’idéalité des objets
mathématiques sera à reprendre hors contexte
platonicien. »
On voit donc combien Caveing est conscient
du risque platonicien à chaque fois qu’on veut tenir un
discours explicatif vis-à-vis des idéalités
mathématiques : il veut à tout prix éviter de tomber dans
le piège de l’explication platoniste du type
d’idéalité mathématique, en les relativisant, en tant
qu’ils sont eux même des relations et des systèmes de
relations et rien de plus, aux systèmes d’écritures
symboliques, au langage, et mettre à plat le processus qui conduit
à leur réification, à les poser comme des objets identiques
réels dans un monde platonicien intelligible, et infiniment actuel
indépendant de nous.
Les mathématiques ont-elles besoin
d’une métaphysique ? Une épistémologie
dépouillée de toute tentation métaphysique est-elle
à notre portée ?
Caveing est d’accord avec
l’analyse de Kant : les jugements mathématiques sont
synthétiques a priori : a priori veut dire qu’ils n’ont
pas d’origine empirique, et synthétiques c’est-à-dire
qu’ils conduisent à quelque chose de plus au fur et à mesure
que s’accroît le travail des mathématiciens.
Or, quelle
est la nature du travail du mathématicien ?
Est-ce que ce travail
consiste à décrypter un ciel intelligible dans lequel sont
logées les idées absolues (surtout l’idée
d’infini actuel de Cantor) qui donnent aux mathématiques toute leur
ampleur ? Ou bien le mathématicien est-il livré à
lui-même, dans l’histoire et surtout avec les outils qu’il a
à sa disposition (particulièrement le langage naturel
d’abord, symbolique ensuite, et surtout l’écriture) dans le
contexte culturel dans lequel il vit, peu importe les motivations physiques ou
autres ?
Les positivistes et empiristes logiques, suivant en cela non pas
Auguste Comte lui-même, mais probablement une certaine
interprétation de ses idées, ont aboutit à tort à la
thèse suivante :
Toutes les idées mathématiques,
surtout celles qui sont les plus développées, viennent de notions
plus basiques et plus simples qui sont des notions naturelles posées dans
le monde empirique.
Ce point de vue est à l’antipode de la
pensée de Caveing.
Dans un entretien privé qu’il
m’avait accordé le 20.02.2007, Caveing dit :
« Quand je vois trois objets identiques devant moi, est-ce que
je vois 3 objets ? Je vois des objets ! Si j’en dis que je vois
3, ça veut dire que j’investis dans ce que je vois une notion
arithmétique : cette notion arithmétique n’est pas dans
les choses, mais c’est moi qui l’impose aux choses : sachant
compter, je dis que ces choses qui sont devant moi sont au nombre de
trois.
Si le positivisme devrait conduire à l’empirisme,
alors l’empirisme, comme dit Dessanti, c’est ce qu’il y a de
plus dégoûtant.
Si je prends un groupe de 25.000, je ne peux
pas l’évaluer à l’œil ! Je ne peux
l’évaluer que si je dispose d’un système de noms de
nombre (sinon je ne peux pas compter), et si je dispose d’un tel
système dans ma langue naturelle c’est que je dispose d’un
système numérique.
Il n’y a pas de perception du monde
empirique qui nous livre les concepts mathématiques tout cuits tout
prêts. Il faut au contraire qu’ils soient élaborés,
inventés, etc.
L’une des caractéristiques des
êtres humains c’est que pratiquement dans toutes les cultures on a
inventés des noms de nombre. Il est vrai que le cerveau humain sous cet
angle est capable d’inventer des noms de nombre (sur ce point Changeux a
peut-être raison), seulement il se trouve que le cerveau des mayas
n’a pas inventé les mêmes noms de nombre que les chinois par
exemple (c’est une complication de plus pour les
cognitivistes).
C’est en vérité l’invention du
numérique qui procure les moyens verbaux et linguistiques de
compter.....en outre, les mathématiques apparaissent dans les
civilisations là où il y a de l’écriture...
Si
l’on n’admet pas un monde métaphysique au-delà de ce
qui fait notre expérience, il faut interroger notre expérience
nous-mêmes pour essayer de comprendre comment les mathématiques
sont produites : est-ce qu’on les crée ? Où est-ce
qu’on les découvre ?
Si le platoniste a raison et que les
objets mathématiques existent en eux-mêmes dans un monde
intelligible, il n’y a dès lors qu’à découvrir
leurs propriétés qui sont données d’avance ou bien
qui sont cachées et il faut les découvrir. De toute
éternité, le rapport de la circonférence au diamètre
est un nombre transcendant, et le fait qu’on ait démontré au
19ème Siècle qu’il ne pouvait pas être la racine
d’une équation algébrique, n’a aucune importance, car
il est transcendant par lui-même, en soi déjà de toute
éternité. »
Le livre de Caveing 2004 veut
donc dire qu’il y a une illusion qui consiste à croire qu’il
existe quelque part soit dans le monde extérieur soit dans le monde
d’en haut des objets mathématiques existant par soi. Tous les
objets mathématiques sont résolubles en système de
relations. Ce à quoi on a affaire ce sont des relations qui une fois
combinées avec d’autres relations arrivent à constituer
même les objets dits naturels comme l’entier et la figure
euclidienne la plus simple.
Qu’est-ce qu’une relation ?
C’est un mode d’être d’une chose par rapport à
une autre.
Les mathématiciens ont toujours l’impression
qu’ils manipulent des objets et que ces objets ont une consistance dans la
perception visuelle ou dans l’intuition spatiale. A partir du moment
où un objet mathématique est constitué, il est doté
d’une unité et peut « naviguer » tout seul,
c’est même le but. Fabriquer un objet c’est aussi fabriquer
une identité qui se maintient à travers les
déductions : il s’agit là d’une raison logique
fondamentale. Ce maintien de l’identité fait croire aux platonistes
aussi bien qu’à leur adversaires empiristes et positivistes
qu’on a affaire, en mathématiques, à des objets
permanents : tous tombent dans ce que Caveing appelle l’illusion
transcendantale.
Le transcendantalchez Kant désigne tout ce
qui se rapporte au domaine dans lequel s’effectue la connaissance vraie.
Kant emploie le mot d’illusion transcendantale lorsqu’on prend une
erreur pour une connaissance vraie. Caveing le prend dans un sens
différent parce que pour lui le domaine du transcendantal
c’est le langage des mathématiques. Il est transcendantal parce que
c’est à ce niveau que peut s’élaborer, se prouver, se
tester, se vérifier « la vérité »
d’une proposition informelle ou la validité d’un
énoncé formel qui la remplace. C’est à ce niveau
là qu’il est dit omnisubjectif, c’est-à-dire
immédiatement assimilable pour toute subjectivité de
mathématicien fonctionnant en tant que mathématicien. C’est
ce que Caveing appelle le domaine transcendantal.
« Si on
transpose dans ce domaine l’idée qu’il y a des objets et
qu’on croit qu’il y a des objets à ce niveau là alors
qu’il n’ y a que des termes de relations, des termes de
désignation, des termes de propriété, ...on est dans
l’illusion transcendantale...Elle est renforcée lorsqu’il
s’agit d’objets de géométrie, car les objets de cette
dernière ont cette propriété remarquable qui a
dominé les maths pendant de longues siècles : c’est
qu’ils ont été associés à ce que Husserl a
appelé les idéalités morphologiques,
c’est-à-dire des formes représentables dans la perception
visuelle sous forme de dessins et de graphismes, et alors l’objet semble
avoir une consistance dans la perception parce qu’on croit qu’on
voit le triangle, et on ne voit pas le triangle. » (Caveing, Entretien
20.02.2007)
Cette situation est exprimée par Desanti (75) dans
ces termes :
Desanti (1975, p. 228) écrit
:
« Les objets mathématiques (ces fameuses essences
platoniciennes : le cercle en soi, etc.) n’existent pas en dehors des
systèmes de relations (et donc en dehors des possibilités
d’écriture) ou s’inscrivent leurs propriétés.
C’est ce que j’ai exprimé autrefois en énonçant
que ces objets n’ont d’existence qu’intra-théorique,
et que leur mode d’existence est entièrement relatif aux
propriétés du système théorique dans lequel ils sont
accessibles. »
Nous voyons que même s’il
écarte de la manière la plus rapide le fait que le platonisme soit
l’expression philosophique du caractère proprement idéel ou
idéal des objets mathématiques, Caveing ne nie pas le fait
qu’il y a quelque chose de commun entre l’idée platonicienne
et la nature de l’objet mathématique : figure, nombre entier,
etc., c’est en un mot : l’idéalité.
Il y a un fait épistémologique historiquement premier
qui explique le type d’idéalité des objets
mathématiques et c’est la théorie des idées de
Platon !
Le rejet d’une historicité des maths
axée sur la seule quête de l’origine et du commencement dans
ce sens là est corrélatif du rejet du
platonisme.
Caveing veut rendre compte donc de cette
idéalité propre aux objets mathématiques en dehors de tout
contexte platonicien qui nous renvoie à un troisième monde :
le monde intelligible. Il n’y a pas, écrit Desanti, d’univers
éternel dans lequel les structures mathématiques subsisteraient,
attendant le moment historique de leur découverte......Une
idéalité mathématique n’est rien d’autre
qu’une indication de procédure opératoire ou
démonstrative. (D 1975 P. 227)
Le troisième
monde n’existe pas : l’espace des mathématiques
c’est en quelque sorte une intelligibilité immanente dotée
d’une objectivité non réaliste : les
mathématiques ne proviennent ni de l’empirie ni du cerveau humain.
Caveing est d’accord néanmoins avec Kant en disant que les
mathématiques sont synthétiques a priori. Il veut mettre au jour
une objectivité anti-réaliste des idéalités
mathématiques : il y a bien une différence entre être
objectif et être réel : les platoniciens confondent les deux.
Pour définir les traits d’une telle objectivité
transcendantale (« à la Petitot ») de ces
idéalités, Caveing met à profit cette conception de Kant
avec les ressources de la phénoménologie de
Husserl.
Même s’il écarte de la manière la
plus rapide la thèse du platonisme, même dans ses acceptions
modernes, le but ultime de toute son épistémologie c’est de
n’assumer ontologiquement aucun objet mathématique :
c’est ce qu’il appelle la critique de l’illusion
transcendantale : parler des objets mathématiques tout en
évitant de les assumer ontologiquement au sens de l’ontologie
métaphysique, tout en faisant attention à ne pas ouvrir la
brèche au réalisme des idées ou des
idéalités.
Du point de vue de Caveing, parler d’objets
en mathématiques ne veut pas dire tolérer ces entités
douteuses dans l’ontologie de la science : si nous continuons
à parler d’objets c’est parce que nous ne pouvons pas faire
autrement, car sans objets les mathématiques seraient sans but :
mais dans tous les cas les objets mathématiques n’existent pas.
Caveing comprend souvent le platonisme dans son sens historique
d’origine : le réalisme des idées et leur transcendance
par rapport au monde sensible (le mythe de la caverne).
Les
platonistes tiennent les objets mathématiques comme appartenant à
une réalité transcendante : le ciel platonicien. Cette
position d’un troisième monde (le monde intelligible des
idées) ne tient pas debout. Le recours à l’histoire veut
définir une position épistémologique médiate entre
l’empirisme et le platonisme : Caveing repend à son compte la
position de Desanti (« les mathématiques ne sont ni du ciel ni
de la terre »).
On regarde souvent les mathématiques comme
une activité, un processus dans le temps (un processus qui fait son
historicité, selon Caveing, mais qui étend aussi son champs
théorique), un édifice non statique mais dynamique.
Si on
parle aujourd’hui chez les philosophes américains contemporains
d’une mathématique dépouillée de son objet (ou de ses
objets : Burgess & Rosen, Hellman, etc.), on insiste souvent dans la
tradition épistémologique française sur une
mathématique dépouillée de son sujet (Cavaillès,
Desanti) : il faut chercher l’essence du travail mathématique
à l’intérieur du champ historique des théories
mathématiques.
C’est ce que Cavaillès, par exemple, a
cherché à faire : éliminer toutes les
considérations subjectives, ne pas s’occuper de qui ce qui se
développe dans la conscience du sujet, et parler plutôt d’une
mathématique qui se développe sans mathématiciens. En
écartant l’idée que les mathématiques puissent se
développer comme un processus dans la conscience du sujet, et en mettant
l’accent sur sa nature comme processus historique, Cavaillès
écarte d’emblée la question du platonisme en
mathématiques : cette question ne l’intéresse pas, et
intéresse rarement les épistémologues qui
s’inscrivent dans cette ligne de tradition bien française.
Mais qu’est-ce que le platonisme en
mathématiques ?
Pour certains, le platonisme c’est
la thèse qui dit que les mathématiques portent sur des objets et
que ces objets existent. Ce qui pose problème c’est bel et bien la
nature abstraite de ces objets. Or, à quel degré ces objets
sont-ils abstraits ? En quel sens sont-ils dits abstraits ? Comment
connaissons-nous ces objets ? Comment connaissons-nous qu’ils
existent ? Sur quel mode existent-ils ?
Le but ultime des
mathématiques n’est-il pas de découvrir des
régularités et des symétries dans la nature et dans les
choses qui nous entourent ! D’où vient donc cette idée
de délier les mathématiques de tout ce qui est concret et
empirique comme voudrait le faire M. Caveing en attestant que
« l’objectivité des mathématiques n’est pas
fondée dans l’empirie » ? Les mathématiques
ne sont-elles pas inséparables des théories physiques
confirmées par l’expérience ? Ne sont-elles pas
indispensables pour toutes ces théories vraies ?
D’autres
pensent que c’est la doctrine qui met sur le même plan langage
ordinaire et langage symbolique : le platonisme repose sur cette confusion.
Le platoniste croit que les notions d’objet et d’existence
mathématiques ont la même signification que dans le langage
naturel. En plus, il utilise d’une manière univoque le sens du
verbe « exister », ce qui est absurde : nous ne pouvons
pas traiter l’existence des figures géométriques ou des
nombres irrationnels dans les mêmes termes que l’existence des
objets physiques perçus ou microscopiques mesurés!
Quelques autres philosophes sont arrivés à penser que le
platonisme est constitué de fond en comble par l’idée
erronée selon laquelle la notion de vérité est primordiale
en mathématiques. Pour réfuter le platonisme, il suffit de montrer
comment les mathématiques n’ont pas besoin d’être
traitées dans les termes de la vérité et de la
fausseté : la recherche de preuves devient le propre de
l’activité des mathématiques.
La pensée
épistémologique de Caveing nous ouvre indirectement sur une
solution satisfaisante du dilemme dit de Benacerraf concernant notre
connaissance des objets mathématiques abstraits : il faut choisir
entre la vérité et la connaissance nous dit Benacerraf, car nous
ne pouvons pas les tenir réunies dans le cas des mathématiques.
Caveing répond à ce dilemme en expliquant comment notre
connaissance des objets mathématiques peut être objective
au-delà de toute notion de vérité. Même si pour
Benacerraf, le concept problématique d’objet mathématique
est défini dans celui de structure (un objet n’existe pas en soi
mais existe en tant que point ou position dans une structure), et que la
problématique consiste plutôt à savoir dans quels termes
nous accédons à sa connaissance, il constitue déjà
en lui-même le vrai problème selon Caveing : dans quel sens
nous pouvons parler d’objets idéaux en mathématiques ?, car
nous constatons selon lui dans le travail mathématique « une
prééminence des actes sur les objets » (p. 43).
Nous pouvons mettre Caveing dans le mouvement de cette ligne de
tradition propre à l’épistémologie historique
française, mais dans un sens bien spécifique, comme nous avons vu.
Cela ne pouvait pas se passer autrement puisque Caveing a consacré
presque tout son effort à l’étude des mathématiques
grecques, et a mit à notre disposition, outre une belle introduction
générale aux éléments d’Euclide (tome 1,
1990), de formidables travaux dans ce domaine.
Dans le petit
paragraphe intitulé Actes et Objets dans C 2004, où
Caveing cite par trois fois Paul Valéry, il parle de « la
prééminence des actes sur les objets et la résorption
complète des choses dans les actes. »(p. 43)
Tout
ça nous rappelle les thèses d’un certain nombre de
mathématiciens modernes qui parlent de la prééminence du
geste en mathématiques au détriment de l’idée :
la pensée mathématique reste pour eux une pensée sourde qui
opère uniquement par détours.
La question de la nature
des objets idéaux et notre accès à eux passe avant tout
chez Caveing par l’étude, selon ses propres termes, des processus
formateurs d’objets dans les mathématiques classiques (p. 43), et
par notre capacité à mesurer les pouvoirs de la pensée
opératoire (p. 48). Cette pensée opératoire qui habite les
mathématiques depuis l’origine, Caveing nous dit qu’elle est
une sorte de mouvement qui va des actes aux objets et des objets aux actes. Au
sein de tous ces processus : les actes renvoient aux objets qui les
règlent et les objets renvoient aux actes qui les constituent (p. 48). Ce
processus qui fait l’historicité des mathématiques permet
aussi d’étendre leur champ en tant qu’édifice
théorique. Concernant la question de la création des objets
mathématiques, il note que (les objets) sont corrélatifs
d’actes opératoires par l’effet desquels ils apparaissent
comme construits et par la ré-effectuation desquels un accès est
ouvert à ses objets en sorte que l’on peut en disposer. (p.
48)
Y-a-t-il, au sein de ce processus d’idéalisation
décrit par Caveing, des objets, qui ne seraient pas construits, mais
donnés ?
Caveing se pose la question, mais ne donne pas
de réponse sur le fait de savoir si certains objets mathématiques
sont donnés ou non !
Il nous met en garde quant même que
la réponse à cette question des objets
« donnés » est susceptible d’orienter
l’analyse de la relation entres les actes aux objets. Mais inversement
l’étude de la façon dont les objets mathématiques
sont construits, ou engendrés, ou crées est de nature à
éclairer la question de savoir si certains d’entre eux
échappent à cette activité constitutive. (p.
48)
De l’aveu même de Caveing, il y a là bien une
circularité : cette circularité qui n’est pas statique,
est la clé qui explique, à ses yeux, l’historicité
même des mathématiques.
« La
mathématique est création de la pensée d’un
être « en situation » dans le monde. Tel est le sens
de leur objectivité. Les mathématiques ne sont pas un songe, ou
plutôt elles subsistent telles quelles malgré le songe....
Un
principe demeure : l’objectivité des mathématiques
n’est pas fondée dans l’empirie, ni dans l’être
d’objets quels qu’ils soient, mais dans les conditions a
priori du rapport d’un sujet concret au monde. » (C 2004, p.
277)
Caveing utilise plutôt la méthode de la variation
eidétique, suivie par Husserl, qui cherche à déterminer
une structure d’essence, concernant la question de l’origine.
C’est la seule recherche légitime à ses yeux de
l’origine, et se demande si l’historicité des
mathématiques n’est pas à part, car dans son cas nous posons
autrement la question de la « facticité » :
élucider le mode d’appartenance des mathématiques à
l’histoire des sociétés et des cultures.
Caveing
ne nie pas le fait qu’il existe une histoire intrinsèque des
mathématiques : « le déploiement » dans
« le temps de la culture humaine», des
« propriétésinépuisables des objets
mathématiques eux-mêmes, parmi lesquelles il faut bien sûr
ranger leur capacité de régler des opérations susceptibles
d’engendrer de nouveaux objets ».
« Le
mode d’existence, écrit Caveing (C 2004, p. 276-277) du
système des relations empirique existant entre l’être humain
et le monde et structurant son comportement est une chose. La
thématisation dans la pensée rationnelle en tant
qu’idéalités pures de relations spécifiées et
symbolisées et leur entrée dans des processus opératoires
en est une autre. Rien ne permet de passer du premier au second de ces deux
domaines.
Les empiristes modernes, spécialistes du cerveau et des
neurones, voudraient bien y découvrir, sous une forme ou sous une autre,
quelque « objet mathématique » qui fournirait la
clé du passage supposé, tandis que les idéalistes de leur
côté voudraient bien trouver dans un ciel platonicien, ce qui
conditionne tout l’essor des mathématiques, l’existence de
l’infini.
Mais on ne trouvera jamais, dans la boîte noire
(277) cérébrale, l’alchimie qui transformerait
l’information, au sens neuronal du mot, en mathématiques, et cela
pour la simple raison que, posé en ces termes, le problème
n’offre aucun sens pensable. »
« Pour avoir
un sens pensable, explique Caveing lors de mon entretien avec lui du 20
février 2007, il faut d’abord se donner le langage dans lequel les
théorèmes sont exprimés. Ca ne veut pas dire qu’il
n’y a pas cérébralement la possibilité d’une
combinatoire entre des traces qui peuvent être des rudiments de
représentations et qui peuvent entrer dans une construction
mathématique. Si vous ne passez pas par le langage, vous
n’arriverez à rien trouver dans le
cerveau !
L’objet mathématique apparaît
lorsqu’il est dit. »
Nous pouvons donc dire que le
mathématicien créateur et inventeur c’est celui qui
découvre de nouvelles relations. Ces relations s’effectuent au
niveau des désignations et des propriétés qu’il
assigne à ces désignations et qu’il combine, mais tout
ça ne peut se faire que par le moyen du langage, même avec le
langage intérieur lorsqu’on réfléchit. Jamais
l’âme ne pense sans images disait Aristote, mais jamais
l’âme ne pense sans mots dit Caveing.
L’idéalité mathématique dont veut parler
Caveing ne renvoie à aucune métaphysique ou ontologie au sens
fort du mot : elle n’est ni dans le cerveau du sujet ni dans les
choses bien réelles et matérielles autour de lui. Caveing
écarte évidemment l’hypothèse d’un
troisième monde, celui intelligible des idées platoniciennes.
Pour Alain Connes, les objets mathématiques fondamentaux, ceux
grâce auxquels les mathématiques existent (et parmi eux il y a
l’infini actuel de cantor) ont une existence réelle. Caveing se
demande où et refuse d’admettre un monde
intelligible séparé !
L’idéalité des objets mathématiques
n’est pas en dehors du schème culturel et du langage...Les objets
idéaux ne sont ni dans le cerveau ni dans les choses, mais dans le
système de relations symbolisées qu’est les
mathématiques elles-mêmes : ce système
s’étale sur des générations et les
mathématiciens manipulent partout dans le monde et durant les
différentes périodes de l’histoire. Les mathématiques
définissent une sorte de mouvement d’intellectualité
universelle traversant le monde et l’histoire.
On ne peut
mieux terminer cet article que par cette citation de Caveing
lui-même :
«Bien que l’historicité
paraisse liée à l’incessante reprise de sens par des
générations de mathématiciens, celle-ci n’est requise
que par l’ouverture d’horizon infinie qui appartient ....à
l’essence de l’objet mathématique. C’est en cette
essence que se trouve fondée l’historicité des
mathématiques.» (C 2004, p.
53)
Références
bibliographiques :
Caveing Maurice : 1982, Zénon
d’Elée, Prolégomènes aux doctrines du continu,
Librairie philosophique Vrin.
____1994 : Essai sur le savoir
mathématique dans la Mésopotamie et l’Egypte anciennes,
Presses universitaires du septentrion, Lille.
____1997 : La figure et
le nombre : Recherches sur les premières mathématiques des
Grecs, Presses universitaires du septentrion, Lille.
____2004, Le
problème des objets dans la pensée mathématique,
Vrin.
____1991, « Qu’est-ce qu’un artefact en
histoire des sciences ? » dans : Hommage à
Jean-Toussaint Desanti.
Desanti J-T, 1968 : Les
idéalités mathématiques, Le Seuil.
_____1975 : La
philosophie silencieuse, Le Seuil.
[1] Article à paraitre
dans Philosophie, mais disponible déjà sur le site de
l’IHST : « L’absence des objets mathématiques.
Remarques sur l’aphilosophie des mathématiques de J-T
Desanti ».
