DOGMA


Hamdi Mlika

mlika_hamdi@yahoo.fr

Field et Hellman critiques de Quine


Dans plusieurs endroits de ses écrits philosophiques et logiques, tels que :

1. « From a logical point of view »[1], particulièrement dans deux articles : « On What There is », et « Two dogmas of empiricism »[2], 2. Ontological Relativity and Other Essays, surtout dans l’article intitulé : « Existence and Quantification »[3], 3. Theories and Things, surtout dans l’article 19 intitulé « Limits and success of mathematization », et dans bien d’autres articles, Quine défend des positions nettement réalistes concernant les mathématiques. Nous pouvons aisément comprendre comment ces prises de position réalistes concourent, d’une manière indissociable, à la formation d’un type bien spécial de platonisme qui donne aux idéalités mathématiques, en tant qu’elles sont utilisées dans une science physique confirmée, un contenu ontologique indépendant de l’esprit. Nous pouvons le qualifier désormais de platonisme holistique et pragmatique, pour mieux l’opposer aux platonismes stricts et forts.
Parmi ces platonismes, nous trouvons ceux défendus par quelques philosophes classiques des mathématiques qui expliquent l’origine de notre connaissance des objets mathématiques à travers une théorie selon laquelle les références des termes mathématiques qui désignent de tels objets abstraits se donnent à nous à travers la faculté d’intuition (qui peut être une faculté spéciale réservée aux mathématiciens et distincte de l’intuition ordinaire) ou à travers le sens des phrases logiques.
Quine rejette la solution intuitionniste de Kurt Gödel, et dit explicitement que l’argument logique de Gotlob Frege ne suffit pas : pour soutenir le platonisme, nous avons en plus, besoin de défendre le réalisme dans d’autres domaines que celui des conditions de vérité des phrases logiques.[4]
Mais que veut-on dire par cet argument logique? Et en quel sens est-il un argument en faveur du platonisme ?
Je peux dire que cet argument signifie essentiellemnt les deux thèses suivantes :
  1. Tous les énoncés des théories mathématiques sont des énoncés au sens ordinaire, c’est-à-dire, susceptibles d’être traités dans les termes du vrai et du faux comme les phrases de n’importe quel autre langage. Appelons ce caractère que les énoncés mathématiques partagent d’ailleurs avec tous les énoncés sans exception : la détermination dans les conditions de vérité et de fausseté.
  2. Ces énoncés doivent être compris au premier degré, c’est-à-dire, comme impliquant des références à des objets ou à des domaines d’objets comme leurs éléments. Appelons ce trait que les énoncés mathématiques partagent avec tous les énoncés sans exception : la référentialité.
Bien que Quine soit l’imminent défenseur d’une position en sémantique excluant toute détermination dans la signification et la dénotation des énoncés, et ne les définissant que d’une manière « inter-théorique », c’est-à-dire, par référence à « l’immanence » de la vérité au schème conceptuel général[5], nous pouvons dire, qu’il accepte l’argument logique tel qu’il est employé par Frege, et en tant qu’il exprime la structure de la logique standard, sans accepter pour autant ses conséquences logicistes.
Le logicisme (qui dit que les objets mathématiques existent en tant qu’objets logiques) est certes une forme intensionnelle de platonisme, mais nous devons le distinguer très nettement du type de platonisme  « extensionnaliste » que Quine accepte, car il a des traits aussi bien ontologiques, épistémologiques, que logiques.
Or, le platonisme de Quine, en raison de son réalisme ontologique vis-à-vis des entités mathématiques abstraites et son rejet de la logique modale avec son langage de second ordre, se heurte irrémédiablement aux critiques d’un certain nombre de philosophes contemporains.
Parmi ces philosophes critiques de Quine, nous trouvons Hartry Field avec sa théorie formalo-logiciste dans laquelle il parle d’une mathématique sans vérité, et Geoffrey Hellman avec sa théorie modalo-structuraliste dans laquelle il parle d’une mathématique vidée de ses objets.
Les théories de ces deux antiplatonistes convaincus, se présentent comme des théories modalo-nominalistes qui développent, avec des méthodes et des concepts différents, des critiques systématiques du platonisme surtout de ce qu’il implique dans le domaine de l’ontologie des mathématiques.
Je vais essayer d’étudier leurs programmes, en tant qu’ils comportent des critiques explicites de la forme de platonisme acceptée par Quine.
Le trait commun à ces deux programmes consiste dans le fait de rejeter le platonisme, particulièrement la version que lui en donne Quine au moyen de sa théorie sur l’ontologie de la science, son critère d’engagement ontologique, et ses arguments d’indispensabilité, en réhabilitant le recours aux constructions logiques modales dans les recherches métathéoriques sur les mathématiques. Bien que de tels programmes philosophiques soient de nature profondément antiplatoniste, leurs tenants ne se donnent pas comme objectif principal l’élimination du réalisme sous toutes ses formes. À l’instar du programme platoniste de Quine lui-même, leurs théories comportent des éléments philosophiques réalistes aussi bien qu’antiréalistes. Quel que soit le degré de leur implication dans la controverse réalisme.antiréalisme, il est évident que ces programmes s’inscrivent dans une perspective nominaliste et « éliminativiste » vis-à-vis des entités mathématiques abstraites. Leur but commun consiste à éliminer les entités mathématiques abstraites, et à donner une version nominalisée de la physique et de la science en général.
En ce sens, la controverse entre Quine et ses critiques antiplatonistes et nominalistes va tourner principalement autour de cette double question fondamentale :
Peut-on faire de la science sans les entités abstraites, particulièrement celles des théorèmes et des théories mathématiques ?
Quel est le degré de réalité que nous pouvons donner aux idéalités mathématiques qui sont contenues dans une physique vraie, réussie et confirmée par l’expérience ?
Nous savons tous quelle était la réponse de Quine à cette question, à savoir : l’admission ontologique des entités mathématiques sur la base de leur utilité dans l’activité de la science. L’argument principal en faveur de l’admissibilité de ce genre d’entités est donné dans la thèse d’indispensabilité, appelée depuis la thèse Putnam-Quine[6].
« Les entités mathématiques, écrit Putnam, sont indispensables pour la science (...). Nous devons, par conséquent, accepter un tel discours; mais il nous engage à accepter l’existence des entités mathématiques en question. Ce type d’arguments remonte, bien sûr, à Quine, qui pendant des années, a insisté en même temps sur l’indispensabilité de notre discours sur les entités mathématiques et sur la malhonnêteté intellectuelle de dénier l’existence de ce qui est présupposé tous les jours. »[7]
Outre les arguments d’indispensabilité, Quine utilise d’autres arguments pour justifier son platonisme pragmatique, même si dans certains cas, la justification du platonisme reste indirecte, et parfois, implicite. Or, bien que nous utilisions parfois le mot « indispensabiliste » pour qualifier ce platonisme et le distinguer des autres, le platonisme pragmatique de Quine n’est pas seulement motivé par eux. En ce sens, les critiques qui lui sont adressées peuvent porter directement sur les arguments d’indispensabilité, mais aussi sur les autres types d’arguments qui relèvent, en général, des thèses essentielles de sa philosophie de la logique et des sciences.
En effet, Hartry Field et Geoffrey Hellman cherchent respectivement à défendre le nominalisme par le biais d’une réfutation systématique de la thèse quinéenne d’indispensabilité, et d’un discours critique sur les thèses principales de Quine dans le domaine de la logique, de l’ontologie et de l’épistémologie.
Les programmes philosophiques des ces deux philosophes antiplatonistes critiques de Quine s’élaborent à partir des insuffisances des solutions données par Quine. Ceci ne voudrait pas dire que les solutions antiplatonistes données sur la base de cette critique ne soulèvent pas, à leur tour, d’autres difficultés aussi problématiques, voire intrigantes.
Chez Hartry Field, il est, en effet, question, dans sa critique, de chercher à démontrer comment la thèse d’indispensabilité des mathématiques, malgré les arguments sérieux auxquels elle donne lieu en faveur du platonisme, reste irrémédiablement ouverte aux objections fictionnalistes et instrumentalistes du nominalisme modal moderne.
Avec Hellman, toute la conception platoniste des objets ensemblistes va être rejetée au profit d’une version modale et structuraliste de la théorie des classes ayant « le projet de nominalisation de la science physique » comme arrière-plan philosophique.

1. Field critique de Quine

Contre Michael Dummett, Field ne voit pas comment la notion de vérité peut intervenir dans le débat sur le platonisme. Le platonisme est avant tout, le réalisme de l’existence des objets mathématiques. Cette existence signifie que ces objets là sont indépendants de nous. Le platonisme est donc, aux yeux de Field, toute théorie qui croit en l’indépendance ontologique des entités mathématiques en général, quelle que soit la méthode utilisée pour exprimer cette indépendance ontologique. Or, bien que Field préfère ne pas aborder la question de l’existence des objets mathématiques à travers la simple question sémantique des conditions de vérité des énoncés qui portent sur eux, (ce qui semble être la méthode choisie par Dummett), l’un des principes de sa conception est de présupposer une certaine équivalence entre la question de la vérité et celle de l’existence[8]. Mais, cette présupposition est urgente, car, contrairement aux autres, et parmi eux Dummett lui-même, Field ne propose pas d’interpréter logiquement (Frege) ou modalement (Hellman) ou intuitionnistiquement (Dummett) ou autrement, les affirmations mathématiques, mais de les prendre telles qu’elles sont, c’est-à-dire, littéralement (at face value) en tant qu’elles concernant un domaine d’objets référentiel bien déterminé. On comprend, dès lors, pourquoi il insiste sur une définition de la vérité mathématique qui ne soit pas sémantique, c’est-à-dire, applicable à tous les énoncés quelle que soit la théorie en jeu, mais uniquement une vérité par rapport aux mathématiques standard.
«  La question, écrit-il, de savoir si des énoncés mathématiques comme ‘7+5 = 12’ et ‘Il existe x (7 + x =12)’ sont vrais simpliciter est très équivalente à la question de savoir si les nombres naturels existent. Car, si les nombres naturels n’existent pas, il serait difficile de voir comment ‘7+7=12’ peut être vrai simpliciter. »[9]
Le platonisme mathématique n’a rien à voir avec la question du réalisme ou de l’antiréalisme logique, car il concerne exclusivement la notion d’existence telle qu’elle est appliquée aux objets dont traitent les mathématiques.[10] Sur ce point, Field se démarque nettement de Hellman, car la construction modalo-structuraliste chez ce dernier utilise une notion de vérité au sens de la logique classique, bien qu’elle élimine modalement du discours mathématique toute référence à des objets ou à des collections abstraites d’objets.
Certainement, Field veut aller plus loin que certains antiplatonistes qui choisissent de dire que ces objets qui représentent le sujet d’étude des mathématiques existent, non pas indépendamment de nous, mais dans notre esprit et par rapport à notre vocabulaire scientifique. D’abord pour deux raisons : (1) l’idéalisme mathématique, comme forme d’opposition au platonisme standard, est inefficace, car le fait de dire que ces objets existent mais sont dépendants de l’esprit et du langage humains ne résout pas le problème auquel est confronté le platonisme, et (2) ce qui intéresse Field c’est surtout des mathématiques qui soient applicables au monde physique.
En effet, Field cherche, par-delà l’option idéaliste (intuitionniste) qu’il ignore délibérément, à montrer que le platonisme est essentiellement la thèse réaliste selon laquelle certains croient littéralement que les objets qui constituent le sujet d’étude des théories mathématiques sont réels.
Le platonisme n’est rien d’autre que l’expression philosophique de cette croyance dans la littéralité des assertions mathématiques, et le rejeter c’est ne pas tenir une telle croyance. Cette attitude antiréaliste ne se construit pas sur une quelconque théorie, réaliste ou antiréaliste, de la notion de vérité en mathématiques[11]. L’opposition au platonisme n’est donc pas logique, mais ontologique, et la tâche principale que se donne Field c’est de prouver la « dispensabilité » des mathématiques dans les théories physiques de manière à battre en brèche l’affirmation platoniste qui fait croire à quelques philosophes que les assertions mathématiques doivent être comprises littéralement, c’est-à-dire, en tant qu’elles postulent l’existence de nombres, d’ensembles, de fonctions, et ainsi de suite. La volonté de mettre en cause la plausibilité du platonisme est accompagnée, chez Field, d’un travail hautement conceptuel et formel. Le recours à des logiques non standard s’avère d’une grande nécessité pour mener à bout une telle tâche.[12]
En effet, il est question dans son programme « fictionnaliste » des mathématiques d’utiliser des logiques déviantes, telles que la logique modale et la logique substitutionnelle, dans le but de donner une version nominalisée des sciences physiques, et montrer comment dans une telle version les mathématiques ne sont pas indispensables comme le prétend Quine.
Même s’il était parfois difficile de partager les mêmes vues que lui, nous pouvons constater la grande contribution du programme antiplatoniste de Field à enrichir philosophiquement et épistémologiquement le débat entre platonistes et antiplatonistes. Il a sans doute le mérite de chercher à nous faire douter de certaines thèses de Quine que nous acceptons parfois sans longue discussion, telle que son critère d’assomption ontologique.
En effet, Field semble être en désaccord avec Quine sur plusieurs points fondamentaux, particulièrement sur la question fondamentale de la justification du platonisme via la place des mathématiques dans les sciences de la nature. Pour Field, si nous arrivons à dissoudre les arguments d'indispensabilité sur lesquels repose le sort du platonisme pragmatique de Quine, nous aurons fini une fois pour toutes avec le platonisme en général, car ils sont les arguments les plus sérieux et les plus forts en faveur de cette thèse.
Field veut, en effet, démontrer, contre Quine, que les théories physiques peuvent être élaborées, de façon satisfaisante, sans aucune référence ou quantification sur des objets mathématiques abstraits.
Le fictionnalisme mathématique de Field est essentiellement dirigé contre la thèse ontologique de Quine qui atteste que l’existence des objets mathématiques (qui sont des objets bel et bien abstraits) s’explique surtout par le fait que la référence et la quantification sur ces objets est indispensable à la fois pour une bonne théorie physique, et pour les mathématiques que cette théorie utilise.
En continuité avec la position de Paul Benacerraf, largement commentée dans la litterature, Field considère que les objets mathématiques sont causalement inertes. Il n’y a entre nous et de tels objets situés en dehors de l’espace et du temps aucune interaction possible. De ce point de vue, et si de telles entités n’existent pas, nous pouvons dire que les énoncés mathématiques qui les dénotent sont faux. Field accepte le raisonnement de Benacerraf, mais uniquement au niveau de ses prémisses et non pas au niveau de ses conclusions, car les énoncés mathématiques restent tous faux sous n’importe quelle ré-interprétation possible, et n’ont pas besoin d’être vrais pour être bons et utiles.
L’absence de tout contact entre nous et ces entités abstraites nous oblige à chercher et à comprendre l’utilité et l’intérêt des mathématiques autrement que du côté de leur vérité, car de ce côté-là, les mathématiques sont entièrement fausses, puisque les nombres, les classes, les ensembles etc., n’existent pas.
Le facteur de la vérité doit être donc éliminé, et le réalisme logique devient, par conséquent, intenable dans le cas des énoncés mathématiques. Field réduit de cette manière tous les aspects réalistes des mathématiques tels qu’ils sont décrits dans le programme des platonistes, à des aspects secondaires par rapport à l’aspect qui concerne la manière avec laquelle les mathématiques sont appliquées au monde physique. L’étude de ce dernier aspect constitue, aux yeux de Field, l’aspect qui doit attirer le plus l’attention du philosophe des mathématiques. L’une des conséquences directes de cette attitude est la formation d’un type d’antiplatonisme ayant pour support le rejet du réalisme dans ses extensions les plus fondamentales, c’est-à-dire, le rejet de la vérité des énoncés mathématiques, de toute référence à des objets mathématiques abstraits et de toute scienticité propre à la connaissance mathématique.
Les fondements du platonisme quinéen se trouvent donc directement remis en cause par le type d’approche antiréaliste développée par Field. Le réalisme dans la valeur de vérité est explicitement rejeté dans le sens où il est affirmé par Quine comme un argument en faveur de l’admission de certaines entités mathématiques abstraites. Field rejette cette option, car nous ne savons pas s’il y a ou non des nombres, des ensembles, etc., et dans tous les cas, nous n’avons pas besoin d’une telle hypothèse pour décider de l’acceptabilité ou non et de l’utilité ou non des théories mathématiques. En vérité, ces théories sont quasi équivalentes aux contes fictifs de la littérature imaginaire, et de ce point de vue, nous pouvons mettre sur le même plan les entités mathématiques et les traits de ces contes, comme étant des fictions tout simplement. Ces théories ne sont pas plus vraies que toute la mythologie des contes littéraires imaginaires.
Ainsi, l’alternative que propose Field consiste à remplacer la vérité des mathématiques par une autre notion qui relève plutôt du caractère d’applicabilité propre aux théories mathématiques : la notion de conservativité. Cette revendication fait déjà le propos du premier ouvrage de Field : La Science sans les nombres, où il est question de montrer comment l’utilité des mathématiques pour les théories physiques peut se passer de la propriété de vérité. La propriété que les énoncés mathématiques doivent posséder à la place de la vérité, Field l’appelle : la conservativité. Mais, que veut dire Field par cette propriété de conservativité ? Quelle est la définition qu’il donne à cette notion antiréaliste sur le plan de la logique des mathématiques ?
« Une théorie mathématique S, écrit Field, est conservative, si pour toute assertion nominaliste A et pour tout corps de telles assertions N, A n’est pas une conséquence de N+S à moins que A ne soit une conséquence de N uniquement. »[13]
Pour saisir le sens de cette définition, nous avons besoin de comprendre ce que Field veut dire par une assertion nominaliste. Selon ses propres termes, c’est une assertion dont les variables sont explicitement limitées aux entités non mathématiques. En ce sens, le rôle que les théories mathématiques sont autorisées à jouer est donc celui d’être des instruments au service de telles assertions, qui permettent de les dériver les unes des autres, n’obéissant, par-là, qu’à une seule condition qui est celle de la consistance logique. La conservativité des théories mathématiques signifie que les assertions nominalistes qui servent de conclusions, au sein d’une théorie physique donnée, à d’autres assertions de même nature, et qui sont dérivables, au moyen de ces théories mathématiques elles-mêmes, peuvent l’être aussi sans leur aide, ce qui rend la question de leur vérité complètement déplacée. Dans le cas d’une théorie mathématique pure, c’est-à-dire, d’une théorie dont le parcours de variables quantifiées est formé uniquement d'entités mathématiques, la conservativité ne peut être qu’une conséquence de sa consistance au sens logique. Dans le cas d’une théorie mathématique non pure, telle que la théorie des ensembles, qui est une théorie dont le parcours de variables peut comporter des entités mathématiques aussi bien que non mathématiques, la conservativité est un cas de consistance logique plus fort. De ce point de vue, les théories mathématiques qui ne sont pas conservatives, seront tout simplement éliminées. Au moyen d’une telle théorie, Field veut prouver la possibilité de reformuler toute la physique théorique de la gravitation ou des champs magnétiques, etc., sans aucune référence à des objets mathématiques et sans aucune quantification sur des entités abstraites.
Field est, sans doute, d’accord avec le platoniste lorsque ce dernier pense que l’indispensabilité théorique des mathématiques dans les sciences physiques constitue un argument fort en faveur de leur vérité. Mais, si nous regardons les choses de plus près, cette indispensabilité théorique des mathématiques dans les sciences empiriques n’aboutit à affirmer ni la vérité, ni la consistance des mathématiques, mais uniquement leur conservativité. Field reconnaît donc le caractère d’indispensabilité des mathématiques, mais refuse l’inférence platoniste selon laquelle cette propriété implique la vérité, et donc par-là, l’existence des entités mathématiques : nous avons la possibilité d’utiliser les mathématiques dans la science sans nous engager ontologiquement sur aucun univers d'objets.
Selon Field, les arguments d’indispensabilité sont les arguments les plus sérieux en faveur du platonisme, et l’objectif principal de son programme modalo-fictionnaliste consiste à « briser » de tels arguments afin de réfuter toute acceptabilité du platonisme dans la philosophie contemporaine des mathématiques. Pourquoi Field considère-t-il ces arguments comme les seuls arguments à prendre au sérieux et qui pourraient vraiment mettre le fictionnaliste dans l’embarras ? La réponse est liée au fait qu’ils portent sur la question la plus fondamentale en philosophie des mathématiques, à savoir la question de l’applicabilité. Pour Field, l’analyse de la manière avec laquelle les mathématiques sont appliquées au monde physique doit être la question la plus fondamentale, et doit prendre le pas sur les questions qui concernent leurs aspects logiques, ontologiques et épistémologiques.
En effet, les arguments d’indispensabilité, qui sont les plus connus parmi les arguments qui plaident en faveur du platonisme, sont basés sur le rôle que jouent les mathématiques dans les sciences de la nature, et sur le fait que les mathématiques représentent une partie essentielle et indépassable dans toute théorie scientifique vraie et réussie concernant le monde extérieur. Ces arguments nous obligent à quantifier sur les entités mathématiques abstraites, et par-là, à admettre leur existence.
Field veut s’attaquer au cœur de ces arguments, c’est-à-dire, à la thèse selon laquelle le rôle des mathématiques est indispensable pour les théories de la science, en se posant la question suivante : Quelle est exactement la fonction des mathématiques dans la science ? La réponse de Field est que les théories mathématiques peuvent être seulement « conservatives » pour toute théorie scientifique nominaliste, et nous pouvons, par conséquent, nous débarrasser de la vérité et de l’existence mathématiques.
Le concept métamathématique de conservativité permet de montrer comment les mathématiques sont éliminables de certaines parties de la science, telles que la théorie newtonienne de la gravitation universelle et la théorie de la relativité restreinte. Sa fonction principale consiste à montrer comment ces théories peuvent être formulées sans faire aucune référence aux nombres et aux fonctions mathématiques. Or, pour Field, l’éliminabilité des mathématiques de certaines parties des sciences physiques, ne signifie pas pour autant qu’elles ne soient pas utiles pour la science. L’utilité des théories mathématiques doit être saisie par-delà les conclusions du platoniste qui s’en sert pour admettre l’existence d’un type spécial d’objets abstraits. Le rôle utile des mathématiques dans le système des sciences ne doit pas devenir une raison pour attribuer aux mathématiques elles-mêmes une quasi nécessité ontologique.
Tout l’effort de Field va se concentrer sur le caractère d’applicabilité propre aux théories mathématiques, et va consister à démontrer comment il est possible d’analyser ce caractère sans inférer l’existence d’aucune entité mathématique abstraite.
Nous remarquons donc que le programme de Field repose sur deux concepts intimement liés : le concept d’une science nominalisée, et celui d’une conception instrumentaliste selon laquelle les mathématiques n’ont pas besoin d’être vraies pour que leurs applications soient utiles. Le fait de démontrer que les mathématiques sont conservatives, présuppose la possibilité de fournir une version nominaliste pour chaque théorie physique réussie. C’est dans ce sens que Field utilise une logique plus large que celle du premier ordre[14], enrichie par ce que nous pouvons appeler la logique complète des sommes goodmaniennes (« complete logic of Goodmanian sums »). En outre, il utilise des opérateurs modaux non classiques, et même la notion d’une conjonction infinie qui joue le rôle d’un quantificateur non standard. Le but recherché est une version nominaliste des diverses parties de la science qui ne nous engage sur aucun objet n'étant pas un individu ou une collection d’individus. Field fait recours donc à des logiques déviantes afin de donner des alternatives nominalistes aux formulations mathématiques des théories physiques (classiques aussi bien que quantiques.)
Il est sans doute très important d’expliquer la nature des liens entre les notions de vérité, de consistance et de conservativité dans le cas du programme de Field[15]. Les relations entre ces deux dernières notions sont très étroites, car le rôle que joue la conservativité au sein de ce programme peut être comparé à celui de la consistance dans le programme formaliste de David Hilbert. Il est sûr qu’il y a, au moins, un point commun entre ces deux programmes : c’est le rejet de la vérité des mathématiques. Dans les deux cas, les mathématiques n’ont pas à être vraies pour être acceptées, et nous pouvons nous passer de cette propriété si nous prouvons que les mathématiques sont consistantes (Hilbert) ou.et conservatives (Field). Chez Hilbert, la vérité est définie dans les termes de la propriété de dérivabilité formelle en tant que simple propriété syntaxique. Nous parlerons désormais non pas de vérité tout court, mais de vérité-dans-S, où S est un système formel particulier. Le prédicat de vérité n’est défini que syntaxiquement, et n’est pas du tout expliqué dans les termes d’une sémantique qui utilise les notions réalistes de référence, de dénotation et de satisfaction.
Pour sa part, Field cherche à bien préciser la nature des relations entre les deux notions de conservativité et de consistance, dans le but d’éviter que son programme soit confronté au même type de difficultés que fait surgir le théorème d’incomplétude de Gödel et auxquels s’est heurté irrémédiablement le système formaliste de Hilbert[16]. L’alternative qui consiste à remplacer la notion de vérité en mathématiques par celle de consistance ne tient pas. Il rejette donc cette alternative, et considère que la consistance d’une théorie mathématique quelconque ne suffit pas pour qu’elle intéresse le mathématicien et pour qu’elle soit acceptée comme bonne et utile pour la science. Une théorie de ce type peut impliquer des conclusions complètement fausses concernant les phénomènes du monde extérieur, et donc, peut ne pas être utile du tout dans la pratique et dans l’application. D’où l’urgence, selon Field, de distinguer entre les théories scientifiques et les théories mathématiques, en ce que les applications de ces dernières n’acheminent pas une information substantielle réelle sur les observables, et sont utiles seulement parce qu’elles nous permettent de faire des déductions à partir d’un système nominaliste donné. Toute inférence qui va de prémisses nominalistes à une conclusion nominaliste et qui peut être faite avec l’aide des mathématiques, peut aussi être faite sans cette aide.
Pour Field, les notions modales rejetées par Quine peuvent être utiles dans une tâche qui consiste à rendre compte des mathématiques dans cette direction. Mais cette utilité doit être relativisée, car les modalités n’ont qu’un rôle partiel à jouer au sein de la philosophie des mathématiques. L’explication fictionnaliste des mathématiques ne serait pas complètement satisfaisante sans un usage partiel de ces notions modales. En même temps, il cherche à introduire ces notions dans un contexte moins polémique. Dans un sens bien précis, il ne voit pas comment il nous est possible d’échapper à un tel sort qui est celui de dépasser les limites de la logique du premier ordre en utilisant les notions modales. Même le platoniste a, en vérité, besoin de ces outils logiques qui vont au-delà de la logique du premier ordre, et est obligé d’introduire dans son vocabulaire logique une conjonction non canonique, à savoir la conjonction infinitaire restreinte, et, parfois, de comprendre la « consistance » comme une notion primitive[17], et finalement comme une notion modale.[18] Mais, Field soutient cependant que la modalité, malgré ses avantages, ne joue en philosophie des mathématiques qu’un rôle limité. L’antiplatonisme modal de Field est donc une forme partielle de modalisme, et les modalités ne doivent pas être comprises comme un substitut à l’ontologie platoniste. Ceci veut dire que l’antiplatonisme modal est saisi par Field autrement que comme une substitution au platonisme et à son ontologie. En vérité, Field ne se situe pas dans le courant modaliste qui cherche à traduire l’ontologie des mathématiques moyennant l’interprétation modale de la classe des énoncés qui assertent l’existence d’entités mathématiques, tout en tenant pour vraies les assertions connectées à des quantificateurs universelles. Comme nous l’avons vu, les énoncés mathématiques non pures sont, pour lui, tous faux sous n’importe quelle interprétation, non pas parce que l’analyse sémantique réaliste du langage mathématique est défectueuse, mais parce qu’il nous est complètement impossible de trouver dans la réalité aucun domaine qui contiendrait des objets mathématiques, pas plus que des domaines qui contiendraient des extraterrestres, des anges ou des fantômes.
« Certes, écrit Field, je ne propose pas de remplacer les mathématiques ordinaires par des nouvelles mathématiques qui rejettent toutes les assertions existentielles pour accepter seulement celles qui sont universelles : un tel corps d’assertions serait d’aucun intérêt mathématique. »[19]
Field ne propose pas, dans son programme fictionnaliste, de réinterpréter les mathématiques classiques. Il propose plutôt de montrer comment les mathématiques appliquées au monde physique ne contiennent pas des références à des entités abstraites. Dans le cas des parties pures des mathématiques, Field propose d’adopter le fictionnalisme, c’est-à-dire, la thèse de la fausseté des parties non appliquées des mathématiques classiques. En effet, l’objectif de Field ne consiste pas à donner une nouvelle traduction des mathématiques classiques (qui serait modale selon les multiples acceptions du modalisme logique et mathématique) selon laquelle les affirmations existentielles d’une grande partie des énoncés mathématiques doivent être ré-interprétées de manière à ce qu'elles n’impliquent plus aucune notion d’existence mathématique ou aucune référence à des entités abstraites.
Les mathématiques n’ont pas besoin d’être vraies pour intéresser sérieusement les physiciens. Des énoncés mathématiques tels que : « Il existe un nombre premier supérieur à un million » ou « Il y a une infinité de nombres premiers » peuvent être déclarés comme des énoncés faux tout en étant mathématiquement utiles pour les sciences de la nature.
Field cherche à se passer complètement de tout concept de vérité appliqué au cas des assertions mathématiques pour deux raisons : d’abord, les théories et hypothèses mathématiques, qui sont équivalentes aux fictions, ne peuvent être dites vraies (ou fausses) que conformément aux mathématiques standard, et non pas conformément à une conception sémantique de la vérité du genre que le réaliste logique propose, ensuite, les mathématiques n’ont pas besoin d’être vraies pour être utiles et prises au sérieux.
Il est clair que Field établit, en premier lieu, une sorte de parallélisme, difficile à accepter, entre les deux prédicats suivants :
«  être-vrai-conformément-aux-mathématiques-standard »  
«  être-vrai-dans-le-contexte-d’une fiction. »
« Le sens, écrit Field, selon lequel ‘2+2=4’ est vrai est très proche de celui dans lequel ‘Oliver Twist vivait à Londres’ est vrai aussi : le second est vrai seulement dans le sens où il est vrai par rapport à un conte très connu, et le premier est vrai seulement par rapport aux mathématiques standard. »[20]
Comme nous l’avons vu, ce parallélisme exprimé dans cette citation est intenable. Quelle que soit la nature du désaccord entre Quine et Field au sujet de la vérité des phrases mathématiques, la question qui les sépare vraiment c’est celle de l’indispensabilité des entités mathématiques dans l’activité de la science. Bien que Field trouve cette indispensabilité incertaine, il est d’accord avec Quine sur les conséquences qui découlent de leur admission, mais ces conséquences n’ont aucune raison d’être.


2. Hellman critique de Quine
Par opposition à Hartry Field, et en parfait accord avec la thèse du réalisme logique de Quine, Geoffrey Hellman conserve la notion de vérité dans le cas des énoncés mathématiques, sans adopter pour autant une théorie sémantique de leur référentialité selon laquelle ils sont vrais ou faux par rapport à un domaine autonome d’objets abstraits. Il tient l’ensemble de ce que les mathématiciens pratiquent aujourd’hui comme ayant un statut objectif, indépendant de l’esprit, et produisant des vérités qui ne sont pas, contrairement à l’avis de Poincaré, seulement des vérités par convention. Hellman n’est pas un instrumentaliste comme Field qui considère les mathématiques comme un simple outil qui n’asserte aucune vérité. Mais le réel défi que Hellamn cherche à relever ce n’est pas de combattre le conventionnalisme de Poincaré, ni l’instrumentalisme de Field, mais de démontrer comment le platonisme quinéen est intenable dans sa manière de comprendre la vérité des mathématiques comme étant à propos d’un univers ensembliste réel.
L’approche modalo-structuraliste cherche surtout à réaliser les objectifs philosophiques suivants : (1) résoudre le dilemme de Benacerraf ; (2) mettre au clair la dispensabilité d’une ontologie platoniste pour l’ensemble des théories mathématiques applicables dans les sciences ; (3) séparer les énoncés mathématiques entre ceux qui sont nettement analytiques et ceux qui sont nettement synthétiques ; (4) éviter les classes propres ; (5) utiliser la logique modale sans tomber dans le piège d’un discours qui parle d’objets possibles et de mondes.
Dans sa critique de Quine, Hellman utilise des ressources logiques modales et strcuturalistes pour aller au bout d’une interprétation non platoniste des mathématiques, où aucune présupposition de nature ontologique n’est posée. Il y a ici un autre point sur lequel Hellman est loin d’être d’accord avec Field : l’idée d’interpréter le corps des mathématiques et d’éliminer toute référence à des objets abstraits. Pour Field, tous les énoncés mathématiques pures sont faux sous n’importe quelle interprétation. Ce n’est pas le concept de leur vérité qui importe le plus, mais plutôt leur utilité dans la pratique de la science. Outre l’antiréalisme logique et le rôle que joue la ré-interprétation des mathématiques, Hellman rejette également la thèse de Field selon laquelle les mathématiques sont, non seulement ontologiquement vides, mais surtout vides de toute connaissance informative réelle. Pour Hellman, les mathématiques ne sont pas seulement vraies, mais constituent aussi une science à part entière. Ces résultats peuvent être aisément démontrés et obtenus au moyen de l’application de la méthode modalo-structuraliste qui met en place une ré-interprétation non platoniste des mathématiques, débarrassée de toute référence à des objets abstraits. Cette méthode utilise donc deux outils distincts :
(1) le structuralisme et (2) le modalisme.
C’est au niveau de l’interprétation des théories mathématiques de second ordre (c’est-à-dire, les théories des classes et des ensembles), que la fusion de ces deux outils devient nécessaire, et c’est sur elle que la réussite (ou l’échec) de tout le programme antiplatoniste va reposer. En effet, le structuralisme, même s’il est saisi ici « antiplatonistiquement » selon le style de Benacerraf et de tous ceux qui l’ont suivi, ne suffit pas pour incarner un argument authentique contre la version platoniste de la théorie des classes. Il est certes possible d’utiliser un type de structuralisme sans modalité pour rendre compte du contenu des théories arithmétiques et le libérer ontologiquement : les nombres seront ainsi compris comme des points dans une structure sans aucune identité et avec un statut ontologique vide. Mais cette solution est inapplicable dans le cas des énoncés qui portent sur les classes et les ensembles, étant donné que ces derniers sont compris comme des objets absolus qui contiennent d’autres objets, et donc qu’ils ne peuvent pas être des points dans des structures.
Pour Hellman, nous ne pouvons pas réussir à mettre en exécution tout le programme, particulièrement en connexion avec les ensembles, si nous n’avons pas au préalable dé-construit l’image platoniste canonique des ensembles qui les traite comme s’ils avaient une nature bien déterminée. Cette tâche peut être faite au moyen de la modalité qui fait que notre discours sur l’existence des ensembles soit simplement un discours dérivatif[21].
Malgré ce recours aux modalités logiques et mathématiques pour rejeter le platonisme et démonter ses arguments, Hellman reste, contrairement à Field, réaliste sur deux plans : d’abord sur le plan logique, puisqu’il soutient que les énoncés mathématiques possèdent des conditions de vérité[22], ensuite sur le plan de l'épistémologie, puisqu'il accorde aux mathématiques une valeur réelle pour la connaissance scientifique.
Bien qu’il impute à Quine cette image platoniste défaillante, Hellman se montre d’accord avec lui contre Field sur deux points : d'abord, sur la vérité et, ensuite, sur la nature non logique des assertions mathématiques. Les énoncés des mathématiques ne sont pas, pour Hellman, comme le prétend Field, tous faux : Certains sont faux, d’autres sont vrais. D’autre part, et pour mieux se démarquer des alternatives déductivistes[23], il assume modalement l’existence mathématique.
«(La théorie modale), écrit-il, incorpore aussi une assomption fondamentale d’existence mathématique, fixée modalement. (...). Nous tenons une telle assomption catégorique comme implicite dans la pratique mathématique classique.
Elle est irréductible à aucune sorte de convention linguistique, et sert à distinguer le structuralisme modal de toutes les variétés de « if-thenism. » »[24]
À l’instar de Quine, Hellman adhère à la thèse d’indispensabilité, mais refuse tout argument favorable au platonisme tiré de cette thèse. L’indispensabilité évidente des théories mathématiques dans les sciences qui étudient le monde réel, n’a rien à voir avec la justification du platonisme, et il est tout à fait possible, non seulement de l’adapter à l’antiplatonisme, mais aussi à l’emploi de la méthode « modaliste » dans l’explication de la connaissance mathématique. En effet, cette thèse ne joue pas le rôle d’un argument en faveur du platonisme, et Hellman veut prouver comment elle peut s’adapter aux réquisits de son antiréalisme ontologique.
« (...) Le langage mathématique, écrit Hellman, peut être indispensable pour toute description précise et détaillée, surtout celle qu’il nous est possible d’utiliser dans une théorie pour satisfaire des fins de prédiction et d’explication. Cependant, cette indispensabilité reflète notre propre langage, probablement nos capacités. Elle ne veut pas dire, par exemple, que les objets mathématiques abstraits participent littéralement avec les objets non mathématiques dans la construction de la réalité matérielle. »[25]
La question fondamentale dans la philosophie contemporaine des mathématiques consiste à déterminer la version des mathématiques dont les sciences ont besoin aujourd’hui, et pour Hellman, la version platoniste qui postule l’existence d’objets abstraits ne convient pas. Il rejette donc toute forme de platonisme, particulièrement celle qui a pour support des arguments tirés de la thèse d’indispensabilité. L’horizon général de tout le programme consiste à comprendre, dans des termes entièrement nominalistes, toutes les articulations de la version non platoniste des mathématiques modernes, de manière à ce que cette version soit compatible avec l’esprit qui anime les sciences de la nature. De là, tout le programme a pour tâche la réalisation des deux objectifs suivants : (1) d’abord, rejeter la version platoniste des arguments d’indispensabilité, car ce sont bel et bien eux qui sont à l’origine de notre discours sur les classes et les relations, (2) ensuite mettre au clair la grande différence entre le constructivisme et le nominalisme.
En comparaison avec le programme (nominaliste) de Field, le nominalisme de Hellman est plus direct[26]. Cette exigence nominaliste forte va lui imposer deux règles pratiques : d’une part, il utilise, parmi les structures, celles qui sont compatibles avec le nominalisme, et d’autre part, il choisit la logique complète des sommes nominalistes de Goodman[27], pour mettre au point son interprétation nominaliste. Ce recours au calcul formel des individus de Goodman[28] n’est pas, selon lui, la seule construction envisageable, car d’autres peuvent également réaliser cette tâche nominaliste, dont celle de la quantification plurielle de la logique monadique du second ordre de Georges Boolos[29].
Cette version trouve dans la méthode modalo-structuraliste sa meilleure expression. Le déploiement de cette méthode marque des points de divergence majeurs, non seulement avec Quine, mais surtout avec les méthodes fictionnaliste et constructibiliste de Field et de Chihara. Bien que toutes ces méthodes antiplatonistes aient comme point commun la critique des idées antinominalistes et antimodalistes de Quine, il nous est difficile de les réconcilier lorsqu’il devient question d’étudier les concepts et les moyens logiques employés pour mettre en application une telle critique.
Or, le fait de critiquer le platonisme de Quine ne signifie pas, pour l’ensemble de ces programmes et ces méthodes, le simple rejet de la totalité des thèses philosophiques élaborées et défendues par Quine. Même si le type de platonisme holistique et pragmatique que défend Quine était interne à l’ensemble de la philosophie quinéenne, il recèle néanmoins des éléments qui sont compatibles avec une démarche d’ordre nominaliste et antiréaliste. Il n’est pas donc rejeté en bloc, et garde, dans certains cas précis, une utilité conceptuelle indéniable.
L’objectif de Hellman consiste à essayer d’élaborer une construction formelle et structuraliste des mathématiques, en s’inspirant des idées de Dedekind, Ernst Zermelo et Hilary Putnam (dans son « Mathematics without foundations »[30]) concernant le fait que le langage mathématique, contrairement aux suppositions des platonistes, ne référent pas à des éléments d’un certain domaine d’objets fixe, mais à des sortes de positions qui ne peuvent être expliquées que par rapport aux relations qu’elles entretiennent entre elles dans une certaine structure. En outre, une grande partie des problèmes que les platonistes sont incapables de résoudre (particulièrement celui de l’identification des mathématiques avec la théorie des ensembles) peut être surmontée en réinterprétant les mathématiques dans un langage modal dans lequel une certaine notion de ‘possibilité’ logique est tenue pour primitive.
Hellman cherche à concilier son structuralisme modal avec ses positions concernant le réalisme logique et scientifique. En d'autres termes, le système recherché doit résoudre le problème de l’applicabilité des mathématiques, c’est-à-dire, la nature de leurs relations à la physique et à la réalité, et doit ensuite conserver la notion de vérité logique pour toutes les assertions mathématiques.
« (..) Dans les mathématiques modales appliquées, écrit-il, nous observons que l’idée de "matérialité" de la réalité possède un intérêt, comme un moyen général et schématique pour nous aider à savoir ce que nous faisons lorsque nous décrivons mathématiquement le monde.»[31]
L'auteur de Mathematics without Numbers donne une attention particulière à ces deux questions cruciales :
(1) le fait de considérer que les énoncés mathématiques doivent être traités dans les termes du vrai et du faux selon les prescriptions du réalisme logique où la vérité est tenue pour indépendante de nos constructions et transcendante par rapport à nos preuves,(2) l’adaptation de ce système modalo-structuraliste des mathématiques au programme épistémologique réaliste qui cherche à rendre compte de la manière avec laquelle les mathématiques sont appliquées dans les sciences et dans le monde environnant, et comment elles participent positivement, avec celles-ci, dans l’acheminement des vérités, des croyances, et des informations scientifiques.
D'une part, Hellman est un structuraliste, mais son structuralisme est doublement dépendant : de la modalité, d'abord, et du nominalisme, ensuite. D'autre part, il est un réaliste au sens logique et scientifique, mais refuse de comprendre littéralement les assertions d’existence en mathématiques. Pour lui, les objets mathématiques n’existent pas, car il accepte l’argument de Benacerraf sur l’absence de tout lien causal entre nous et ces objets. Le fait qu’il n’existe aucune interaction causale entre nous et les objets abstraits, présente une raison valable pour procéder à leur élimination moyennant une ré-interprétation du système platoniste classique. Cette ré-interprétation des mathématiques a pour point de commencement le fait de constater que le discours platoniste, qui traite les classes et les ensembles comme s'ils étaient des objets identiques, repose sur un simple acte de réification des résultats des procédures de sélection. Or, avec le modalo-structuralisme, les ensembles deviennent, selon une expression de Putnam[32], « des possibilités permanentes de sélection. » La modalité nous libère ainsi de l’obligation de spécifier, selon les manoeuvres du platoniste, une seule procédure de sélection : nous pouvons parler plutôt de toutes les voies possibles pour sélectionner des objets d’un genre donné.
Contrairement à Field (qui lui ne cherche pas à ré-interpréter les mathématiques), et en plein accord avec Chihara, Hellman suggère donc d’utiliser les notions modales de possibilité et de nécessité logiques afin d’éliminer la version platoniste, et les combiner avec le structuralisme pour donner lieu à une nouvelle interprétation des mathématiques standard complètement débarrassées de toutes les entités abstraites.
Sa philosophie antiplatonsite des mathématiques se présente, avant tout, comme une combinaison entre le structuralisme, le réalisme (logique aussi bien que scientifique) et le modalisme, et achemine vers une conception selon laquelle la connaissance mathématique ne peut être qu’une connaissance de certains types de possibilités et de nécessités.
Contrairement à un platoniste comme Quine qui continue à croire que la logique classique du premier ordre est la logique qui convient le mieux aux mathématiques, et qu’admettre des ensembles est moins dangereux que de recourir aux modalités, Hellman utilise des opérateurs modaux pour traduire tous les énoncés mathématiques dans le langage propre à son système structuraliste, et les pose comme primitifs, de manière à ce que les affirmations d’existence en mathématiques soient remplacées par de simples possibilités logiques, et que toute référence à des objets peut être ainsi éliminée à tout moment. À ce stade, Hellman semble être d’accord avec Chihara sur l’acceptabilité d’une sémantique ensemble-théorique pour les modalités, mais la version modalo-structuraliste de la théorie des ensembles qu'il propose exige cependant que sa notion modale de possibilité logique lui soit propre, ce qui n’est pas toujours le cas dans la théorie constructibiliste que propose Chihara.
« (La possibilité), écrit-il, fonctionne comme une notion primitive et nous n’avons pas à penser de cette notion comme si elle demandait une sémantique ensemble-théorique pour qu’elle soit intelligible (..). Nous pouvons plutôt donner des axiomes modaux. »[33]
La traduction modale de la théorie des classes est donc le fondement même de son programme antiplatoniste, et le recours aux opérateurs modaux en question et à toute la logique modale du second ordre, semble être, à ses yeux, un des meilleurs moyens pour mettre au clair les vertus indéniables du structuralisme, qui autrement, peuvent rester cachées. Le structuralisme et le modalisme ne vont pas l’un sans l’autre, et si le structuralisme peut donner lieu à une philosophie des mathématiques qui irait au-delà des aberrations et des erreurs du platonisme des objets abstraits, et qui rendrait parfaitement compte de la nature de la connaissance mathématique, c’est parce qu’il s’harmonise nettement avec le recours à la sémantique des mondes possibles et à la logique des modalités de second ordre, et cette harmonisation permet, sans nuances, de montrer dans quelle direction nous pouvons concevoir et comprendre comment les théories mathématiques peuvent être appliquées à la réalité physique, et saisir sous quelles conditions elles sont réalisables, en tant qu’elles sont constituées de simples possibilités logiques, dans des structures concrètement actualisées.
Le structuralisme avec modalité de Hellman a pour tâche principale de remédier aux imperfections du platonisme, et d’esquisser les traits d'une nouvelle compréhension des relations entre connaissance mathématique et connaissance physique. La réalisation d’un tel programme possède deux phases : (1) montrer, d’abord, comment nous pouvons traduire les structures de l’analyse, de la théorie des nombres et de la théorie des ensembles classiques dans le langage du système modalo-structuraliste, et (2) ensuite, montrer comment ces structures pures sont réalisables dans la réalité concrète. Au cours de ces deux phases, l’objectif consiste, à éviter, selon les principes du nominalisme moderne, de poser ou de se référer à des objets abstraits, tout en cherchant à réhabiliter l’objectivité des assertions mathématiques dans le sens déjà utilisé par Quine, c’est-à-dire, dans le sens du réalisme logique[34].
« Par Objectivité ici, écrit Hellman, je veux dire détermination quant à la valeur de vérité (...) Une telle (notion) de vérité doit être comprise selon le sens classique comme impliquant l’indépendance par rapport à des agents mathématiques particuliers ... »[35]
Hellman veut rejeter le platonisme tout en conservant le réalisme dans la valeur de vérité logique. Il arrive à distinguer, contrairement à Field, entre ce type de réalisme et le platonisme. Pour ce dernier, le platonisme est le réalisme ontologique, c’est-à-dire, la croyance en l’existence d’objets mathématiques, et voit mal comment la notion de vérité peut intervenir dans la fixation du sens du platonisme. Hellman cherche plutôt à éliminer le réalisme existentiel sans passer par l’élimination des autres aspects réalistes du platonisme canonique[36].
Il ne regarde pas uniquement la question du platonisme à travers l’existence ou non des entités mathématiques, mais aussi à travers les exigences de vérité et d’objectivité qui sont indispensables pour les sciences mathématiques.
Le défi qu’il propose de surmonter ne consiste pas à démontrer, comme c'est le cas avec le fictionnaliste, que nous pouvons nous passer du concept de vérité et prouver, par conséquent, comment la physique peut être construite selon des règles strictement nominalistes sans aucune forme de « mathématisation », mais seulement à dé-faire l’image platoniste d’un système qui serait doté d’un seul univers fixe d’objets individuels abstraits.
Chez Hellman, le structuralisme ne va pas sans le modalisme à tel point que nous pouvons parler de modalo-structuralisme tout court pour désigner sa philosophie antiplatoniste. Mais en quel sens va-t-il combiner ces deux méthodes pour donner lieu à une théorie philosophique et à un système formalisé des mathématiques modernes ?
Hellman suggère de revenir à deux tentatives pour rendre compte des mathématiques et dépasser les insuffisances du platonisme classique : le structuralisme de Richard Dedekind, et l’utilisation des modalités logiques pour interpréter les énoncés mathématiques par-delà tout langage logique « objectuel » telle que nous la trouvons chez Hilary Putnam dans un article publié en 1967 et intitulé : « Mathematics without Foundations ».
Concernant la question du statut exact des mathématiques : constituent-elles une véritable science ayant un contenu « cognitif » et informatif bien défini ou sont-elles tout simplement un instrument au service des autres sciences ? Je peux dire que Hellman n’est ni un logiciste au sens de Frege ni un constructiviste au sens de l’intuitionnisme moderne. Bien qu’il soit antiplatoniste, il est un réaliste convaincu. D’abord sur le plan scientifique, car les descriptions et les conceptualisations de la réalité matérielle données par la science sont, à ses yeux, indépendantes de l’esprit. Ensuite, il est réaliste sur le plan de l’objectivité des mathématiques elles-mêmes. Pour lui, la vérité reste, en effet, un concept fondamental dans la sémantique et dans la logique qui sont appropriées aux mathématiques.
Les tenants des alternatives logicistes aussi bien que constructivistes au platonisme ont tort lorsqu’ils cherchent à réduire la connaissance mathématique à une forme de connaissance purement déductive ou lorsqu’ils tentent de supprimer le concept même de vérité pour le remplacer par la notion constructiviste de prouvabilité, traitant ainsi tous les objets mathématiques comme de simples constructions mentales. En vérité, les mathématiques participent positivement à notre connaissance scientifique du monde en véhiculant des informations à son sujet.
À l’instar de Quine, son opposition à de telles alternatives dans la philosophie des mathématiques, vient de l’intérêt grandissant qu’il donne aux rapports entre physique et mathématiques. Mais, contrairement à Quine, il pense que nous n’avons pas besoin de considérer les structures mathématiques abstraites comme faisant partie du monde matériel que nous étudions.
« (...) Nous n’avons pas besoin, écrit Hellman, de regarder les structures abstraites des mathématiques comme étant littéralement intégrées au monde actuel. Il suffit qu’elles soient conceptuellement possibles. En appliquant les mathématiques au monde actuel, nous faisons appel aux structures mathématiques comme une manière d’acheminer de l’information à propos de ce monde ... »[37]
L’interprétation modalo-structuraliste des assertions existentielles en mathématiques permet, donc, de rendre compte de l’applicabilité des mathématiques dans le monde physique, sans pour autant adhérer à des formes d’antiréalisme autre que celle qui a trait à l'existence.
La thèse d’indispensabilité, telle qu’elle est formulée et introduite par Quine peut s’adapter à un tel système des mathématiques, sans qu’elle joue évidemment le rôle d’une source d’admissibilité ontologique pour les objets mathématiques[38]. Hellman renonce en vérité à toute ontologie « objectale » propre aux mathématiques. L’erreur d’un platoniste comme Quine consiste à penser l’existence mathématique selon le modèle de l’existence des objets réels. Quine donne à tort une extension ontologique à la procédure de quantification existentielle dans le cas des propositions mathématiques vraies. Le platonisme repose finalement sur un oubli : l’oubli du fait que l’identité de l’acte ou du geste mathématique consiste non pas à chosifier des objets et à les transformer en des substances dans un univers abstrait fixe, mais à découvrir des symétries et des régularités dans la nature afin de construire des outils pérformants qui nous permettent de mieux organiser notre savoir faire.

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[1] From a logical Point of View: 9 Logico-Philosophical Essays. Cambridge : Harvard University Press, 1953.
[2]Le premier article est publié pour la première fois en 1948 dans : Review of Metaphysics, vol. 2, alors que le second ne l’est qu’en 1951, dans Philosophical Review, Vol. 60.
[3] New York, Columbia University Press, 1968, pp. 151-164.
[4] On voit comment la définition dummettienne du réalisme comme une thèse sémantique et logique s’applique avant tout au cas du platonisme frégeen, car l’argument logique joue un rôle capital dans la formation de ce type de platonisme, ce qui n’est pas certes le cas du platonisme indispensabiliste de Quine, où cet argument n’assume qu’une tâche limitée.
[5] Pour Field, cette relativité est un manquement à la règle d’objectivité scientifique.
Voir :  « Theory change and the Indeterminacy of reference », Journal of philosophy 70/1973, pp. 480. La notion quinéenne d’indétermination, crée, selon lui, d’énormes problèmes pour la sémantique référentielle. Aujourd’hui, il ne défend pas ce réalisme fort, et soutient plutôt le déflationnisme qui n’a aucun rôle à jouer dans les mathématiques, car il juge que sur des bases nominalistes, le domaine sur lequel devraient se ranger les variables d’individus propres à de tels énoncés, n’existe pas, donc, ils sont tous faux.
[6] Cette thèse est quinéenne, mais c’est à Putnam que revient le mérite de l’avoir bien formulée. En effet, c’est lui qui donne la meilleure définition des arguments d’indispensabilité de Quine.
[7] Putnam (1979) p. 347.
[8] Cette attitude de Field va, me semble-t-il, dans le sens de la définition que j’ai donnée du platonisme : car Field ne voit comment il peut nier l’existence des objets mathématiques, et continuer cependant de parler de la vérité des énoncés qui portent sur eux.
[9] Field (1993) p. 289.
[10] Je pense que Field et Dummett se ressemblent beaucoup : tous deux rejettent la notion de vérité pour les énoncés mathématiques, et la remplacent (i) par la conservativité et (ii) l’assertabilité-prouvabilité. Or, ils ne sont pas d’accord sur les bases de leur antiplatonisme respectif : (i) des bases nominalistes d’un côté, et (ii) des bases qui relèvent de la philosophie du langage de l’autre.
[11] Bien sûr, Field défend une conception antiréaliste de la vérité et de la signification, à savoir la conception déflationniste. Or, dans le cas précis des énoncés mathématiques, elle n’a pas un rôle direct à jouer, car les nombres n’existent pas, et donc ils sont tous faux. En outre, la vérité mathématique, même comprise dans les termes de cette conception défaltionniste, n’est pas importante. Ce qui est le plus important c’est que les mathématiques soient une sorte d’instrument utile pour la physique et pour sa nominalisation, et que ses applications soient seulement conservatives.
[12] Pour Field, le projet de nominalisation de la science, exige le choix des bases logiques sur lequel il peut être édifié. Sur ce plan, Field pense qu’il faut faire un choix, et trancher sur la question : quelle logique faut-il utiliser ? Le choix de Field va sans doute au-delà des outils que la logique du premier ordre met à notre disposition, mais attention, précise-t-il : nous devons toujours choisir ceux que le platoniste aurait acceptés aussi ! Field, ne lâche jamais des yeux le platoniste. Voir Realism, Mathematics & Modality, p. 52.
[13] Field (1989) p. 125.
[14] Ici, nous caractérisons sa tentative de donner une version nominaliste telle qu’elle est élaborée dans (Field 1980). Or, dans sa deuxième tentative (Field 1989), il choisit de formuler cette version dans la logique du premier ordre. Il est obligé de le faire pour sauver la conservativité déductive de sa version sous le coup de la critique de Shapiro et du théorème d’incomplétitude de Gödel.
[15] En effet et il est urgent même, car la notion de conservativité est une notion formalo-logiciste : elle est intermédiaire entre la ‘consistance’ chez Hilbert, et la vérité au sens logique chez Frege.
[16] Voir à propos de cette question l’article de S. Shapiro : « Conservativeness and Incompleness », Journal of Philosophy.
[17] Comme beaucoup d’antiplatonistes, Field accepte de poser les opérateurs logiques non canoniques comme primitifs afin d’éviter les implications ontologiques de l’emploi des définitions de la théorie des ensembles.
[18] Realism, Mathematics & Modality p. 48-49 : « Even the platonist must understand consistency as a primitive notion (in effect, a modal notion).. »
[19] Field (1989), p. 239.
[20] Field (1989), p. 3.
[21] Hellman (1989) p. 59.
[22] Dans un sens oui, mais dans un autre sens, non, car il utilise des opérateurs modaux et des axiomes qui n’existent pas dans la logique canonique réaliste.
[23] Ou ce qui est convenu d’appeler en philosophie des mathématiques le « if-thenism ».
[24] Hellman (1989), p. 57.
[25] Hellman (1989), p. 127.
[26] Hellman (1989), p. 47. Note 35.
[27] Goodman, N. (1977) : Field utilise aussi cette logique, ou ce que nous appelons le calcul des individus. Mais Hellman va ajouter à ce calcul un autre axiome : l’axiome d’atomicité. Voir Hellman (1989) p. 47-48-49.
[28] Dans ce type de calcul utilisé par Hellman et Field, la notion de base est la relation Partie-Tout.
[29] Boolos (1985)
[30] Putnam (1967).
[31] Hellman (1989), p. 128.
[32] Punam (1975).
[33] Hellman (1989) p. 59-60.
[34] Hellman (1989) p. 47-48 note 35 : « (My) nominalization strategy is far more direct that of Field (1989), and it respects the truth of (pure) classical analysis, in sharp contrast with Field’s instrumentalism. ».
[35] Hellman, G (1989), p. 2 : « By « Objectivity » here is meant determinateness as to truth value–true or false, ... ; moreover, such truth is to be understood classically as implying independance of the particular matimatical investigators .... »
[36] Dénier l’existence des ensembles ne conduit pas, chez lui, à croire que toute l’analyse est radicalement fausse.
[37] Hellman (1989) p. 127.
[38] Contrairemnt à Quine, Hellman est un nominaliste. Comme Field, il est tenté par un programme qui nominaliserait la physique. Il trouve d’ailleurs la stratégie de Field qui consiste à représenter toutes les mathématiques de la théorie de la gravitation universelle par des points et des régions d’espace-temps tout à fait intéressante, mais doute de la possibilité de l’étendre au domaine de la physique des quanta. Hellman (1989), p. 116.


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