DOGMA


Hamdi Mlika

(mlika_hamdi@yahoo.fr)

Quine et Benacerraf sur la vérité et l’existence en mathématiques



Quels sont les liens entre Quine et Benacerraf ?
Tout philosophe des mathématiques tient le dilemme dit de Benacerraf comme étant bien réel, posant un problème crucial, et tout son effort consisterait à proposer une solution philosophique systématique lui permettant de le résoudre dans de bonnes conditions logiques et épistémologiques. Est-ce le cas de Quine ? Quine, accepte-t-il le dilemme de Benacerraf comme étant non seulement réel, mais comme aussi le point de départ de sa propre théorie philosophique sur les mathématiques ?
Quine est un platoniste, dans le sens où il n'accepte l'existence des objets mathématiques que par rapport à l'idée qu'il se fait des questions ontologiques en général, c'est-à-dire, par rapport à sa thèse sur la relativité et son critère sur l'engagement ontologique. Au sujet du débat sur la nature des nombres et la définition de l'arithmétique, la position de Quine semble être intermédiaire entre le platonisme standard et le nominalisme des empiristes. Pour lui, les nombres ne peuvent avoir que des propriétés arithmétiques (sur ce point, il est d'accord avec Benacerraf), mais nous sommes obligés de choisir une seule séquence (parmi d’autres qui sont toutes valables) pour les définir, et ce choix nous engage ontologiquement sur une série d'objets et non sur d'autres. Dire avec Benacerraf, que les nombres sont toute chose satisfaisant l'arithmétique, est insuffisant.
J’essaierai dans ce travail de répondre à ces questions.
Au cours de cette réflexion sur les liens possibles entre le dilemme[1] de Benacerraf et le programme de Quine, je voudrais m’occuper avant tout de la question suivante et la développer :
Du point de vue de Quine, nous n’avons pas à choisir entre l’admissibilité des nombres ou des ensembles et leur nature structuraliste : pourquoi, dirait Quine, penser qu’il y a opposition entre une interprétation structuraliste des nombres et entre leur admissibilité dans l’ontologie de la science !
Au sein de la philosophie des mathématiques de Quine, le dilemme tombe à plat, car platonisme et structuralisme ne s’opposent hélas plus.
D’un côté, toutes les solutions antiplatonistes tombent, y compris celle que propose Benacerraf lui-même dans la partie dite positive de son programme, puisque la position des nombres comme de simples points dans des structures, ne met pas en question leur position comme des objets ontologiquement individués. Car, qu’est-ce qu’un point dans une structure sinon une sorte d’objet abstrait, et qu’est-ce qu’une structure sinon elle aussi un objet abstrait! Je suis tenté de dire, que le Dilemme de Benacerraf est une réaction au travail accompli par Quine à propos de la relativité ontologique, même s’il ne le dit pas clairement. Sans prendre parti pour l’un ou l’autre, je pense à dire, à la lumière d’une remarque faite par M. Resnik lors d’une correspondance privée, que les deux programmes se sont développés parallèlement, l’un indépendamment de l’autre, pour parvenir presque au même résultat. En effet, Quine et Benacerraf, comme je vais essayer de le montrer, sont d’accord sur les éléments et principes fondamentaux suivants : la naturalisation des mathématiques, la vérité et la signification des énoncés du langage des mathématiques, le rôle des démonstrations dans l’activité des mathématiques, le rôle important pour une conception structuraliste et enfin, le statut épistémologique bien réel accordé aux pratiques et théories mathématiques.
Je voudrais commencer cet exposé par une petite remarque : les allusions à Benacerraf et à son dilemme dans les textes de Quine sont, sauf erreur ou ignorance de ma part, très rares, sinon inexistantes. Les courts passages qui vont m'intéresser le plus, sont deux :
Le premier est tiré du chapitre 2 de Relativité de l'ontologie et autres essais, p. 58 de l'excellente traduction française de M. Jean Largeault, où Quine fait référence à la position de Benacerraf (1965) au bout d'une discussion du point de vue de B. Russell sur la définition de l'arithmétique et sur la nature des nombres.

" (..) Il est vrai de dire, écrit Quine, ...que l'arithmétique est tout ce qu'il y a dans le nombre. Mais ce serait une confusion que d'exprimer cette idée en disant (..) que les nombres sont toute chose qui satisfait l'arithmétique.
Cette formulation est erronée parce que des domaines distincts donneront des modèles de l'arithmétique distincts. On peut s'arranger pour qu'une progression quelconque convienne; et identifier toutes les progressions des nombres impairs avec celle des pairs, contredirait finalement l'arithmétique.
(...) Le point délicat est qu'une progression quelconque servira de version du nombre aussi longtemps et aussi longtemps seulement que nous nous tenons à une seule et même progression.
En cette acception il est vrai que l'arithmétique est tout ce qui fait le nombre: on ne peut pas dire absolument ce que sont les nombres ; il n'y a que l'arithmétique. Note : P. Benacerraf (1965) développe ce point. Sa conclusion diffère assez de celle à quoi j'aboutis."

Le deuxième est tiré d'un texte dans lequel Quine répond à Ch. Parsons, publié dans Hahn and Schlip Eds (1986), pp. 400. 401 : The Philosophy of W.V. Quine :

" Quel que soit, écrit Quine, l'explication donnée aux nombres naturels dans les termes de la théorie des ensembles, leur utilité consiste dans leur capacité à former une progression. Au lieu de les traiter comme des objets incomplets, je préfère dire avec Benacerraf qu'il n'y a pas de nombres naturels, et que nous n'avons pas besoin d'eux, dès l'instant où n'importe quelle progression peut réaliser le même objectif qui serait réalisé par les nombres s'ils étaient utilisés, et la théorie des ensembles offre, dans ce sens et d'une manière abondante, des progressions.
Or, dans la pratique, lorsque nous utilisons une progression d'ensembles pour compter ou pour réaliser d'autres opérations de calcul servies d'habitude par les nombres, nous sommes prêts à appeler ces ensembles des nombres, et à faire référence à eux par des chiffres !"

Ces deux courts passages vont nous aider à mieux comprendre dans quelles conditions Quine cherchait-il à définir sa position vis-à-vis du dilemme de Benacerraf, du structuralisme, et de l’élimination des objets mathématiques.
En mettant au clair ces conditions, je montrerai que bien qu'ils partent des mêmes thèses et principes logiques et épistémologiques, Quine et Benacerraf vont construire deux théories philosophiques sur leur interprétation nettement différentes.
En effet, Quine et Benacerraf sont d’accord au moins sur un point : le réalisme logique est acceptable. Par réalisme logique, je veux dire que les énoncés mathématiques sont soumis aux mêmes conditions de signification et de vérité que les énoncés logiques et que tous les énoncés en général. Or, nous constatons que tous deux vont utiliser différemment cette thèse. Le réalisme logique va conduire dans la théorie de Quine au platonisme, alors que Benacerraf va plutôt considérer que son adaptation à son système antiplatoniste des mathématiques doit devenir un objectif urgent.
Il y a un autre point sur le quel les deux philosophes semblent être d’accord : c’est la thèse du réalisme épistémologique. Pour Quine et Benacerraf, les mathématiques constituent une forme substantielle de connaissance scientifique, et non pas un simple langage formel qui tient son sens uniquement de quelques règles syntaxiques et conventions. Tous deux sont farouchement opposés, et depuis les années 1960, à toute compréhension "fictionnaliste" des énoncés mathématiques du type que Hartry Field allait proposer dans les années 1980, car pour eux les mathématiques constituent une véritable science au même titre que la physique, et possèdent une possibilité réelle d’être appliquées aux phénomènes du monde naturel.
Cela dit, la question à laquelle je chercherai à répondre est la suivante :
Comment Quine et Benacerraf vont-ils aboutir à des conclusions différentes sur la question de l’existence des entités mathématiques abstraites alors qu’ils semblaient être d’accord sur le réalisme logique de la vérité et épistémologique relatif au statut scientifique des mathématiques ?
En rejetant toute forme d’existence pour les objets mathématiques, Benacerraf est sans doute un antiplatoniste. La tâche qu’il se donne consiste à éliminer toute référence à de tels objets dont la cognition dans des termes naturels est impossible selon lui. L’antiplatonisme de Benacerraf c’est l’antiréalisme ontologique combiné avec le réalisme logique de la vérité et celui épistémologique relatif au caractère proprement scientifique des mathématiques.
La philosophie proprement benacerrafienne des mathématiques, en tant que forme d’antiplatonisme, est la mise en système de cette combinaison de manière à représenter une théorie philosophique cohérente. L’important ce n’est donc pas de savoir si Benacerraf et Quine acceptent ou non telle ou telle forme de réalisme et dans quelles conditions, mais de connaître comment ils vont réussir respectivement à combiner leurs positions de manière à engendrer une théorie cohérente dotée d’une certaine systématicité du point de vue de sa logique interne et de sa méthode.
Benacerraf rejette donc le platonisme par la voie de son refus d’admettre une certaine forme d’existence pour les nombres et les objets mathématiques en général. L’antiplatonisme n’est pas ici « sémantique » (le cas d’un intuitionniste comme Dummett) ou « épistémologique » (le cas d’un fictionnaliste quasi-logiciste comme Field), mais  ontologique (le cas de Quine lorsqu’il devient question des propositions, des attributs, des objets possibles, des propriétés, etc.)
Ce que rejette Benacerraf dans le platonisme c’est sa tendance à traiter les nombres naturels comme des objets singuliers. Or, le fait de rejeter la partie ontologique n’impliquera pas, comme c’est le cas de certains antiplatonistes contemporains, une nouvelle compréhension du sens de la vérité et de la « scientificité »[2] des affirmations mathématiques.
En effet, Benacerraf ne procède à aucune réforme qui porterait sur les concepts de vérité ou de « scientificité ». Le réalisme logique et celui épistémologique demeurent deux thèses reprises par Benacerraf telles qu’elles figurent chez les platonistes classiques. L’antiplatonisme repose donc ici sur le simple rejet de la thèse réaliste sur le plan de l’ontologie des mathématiques. Mais si on rejette toute forme de croyance en l’existence des objets mathématiques, comment peut-on continuer à croire en la vérité des énoncés qui portent sur de tels objets ? C’est le défi que Benacerraf cherche à surmonter : mettre à couvert une conception non objectuelle des mathématiques.
Pour Benacerraf, le fait que les nombres n’existent pas n’implique pas que toute décision concernant la vérité ou la fausseté des affirmations mathématiques doit être suspendue. Les nombres et tous les autres objets mathématiques doivent être saisis comme de simples éléments dans des structures mathématiques, et non pas comme des objets particuliers indépendants de nous et de la connaissance que nous pouvons en avoir.
Un énoncé mathématique n’est pas dit être vrai ou faux du point de vue de sa correspondance ou non à des objets abstraits singuliers dotés d’une certaine forme d’existence. Une telle thèse est scientifiquement fausse, car il nous est impossible de justifier sur aucune base scientifique l’existence objective de tels objets. Or, la thèse de la fausseté scientifique de l’existence des objets abstraits n’implique pas l’antiréalisme logique. La vérité pour les énoncés mathématiques et logiques doit être conservée grâce au structuralisme. Quine est incontestablement d’accord avec Benacerraf sur le réalisme de la vérité et sur les avantages du structuralisme dans la sauvegarde de ce réalisme, mais ne comprend pas comment nous puissions dans ces conditions mêmes rejeter le concept d’existence, et se passer d’une conception objectuelle de la connaissance mathématique. Alors que le programme de Benacerraf se définit comme réaliste mais antiplatoniste, la philosophie de Quine est platoniste dans le sens où ce dernier ne doute d’aucun des trois fondements substantiels du réalisme philosophique : la vérité, l’information sur le réel, et l’existence. Il ne serait pas cependant faux de dire qu’entre les deux, la démarche philosophique change de structure sans que les éléments employés changent ou se transforment. En effet, tous deux partent d’une conception naturaliste de la science pour aboutir à des conclusions ontologiques diamétralement opposées.
Comment à partir de ce même point de départ naturaliste, les idées de Quine et de Benacerraf concernant la logique et l’ontologie des mathématiques vont-elles diverger ?
Nous avons vu comment Quine et Benacerraf soutiennent deux approches réalistes au sujet du concept de vérité en mathématiques, tout en étant en total désaccord sur le rôle que joue une théorie des objets mathématiques et une théorie de leur existence dans la formation de ce réalisme logique. Quelle que soit la divergence de leurs points de vue sur cette question cruciale des liens entre «être un objet », « exister », et « être vrai ou faux », le concept de vérité reste néanmoins central dans leurs théories sémantiques et logiques respectives, et aucun des deux ne suggère à aucun moment de mettre à sa place un autre concept déviant comme c’est le cas dans le contexte d’une approche antiréaliste de la signification et de la vérité. Le concept de vérité ne peut donc être remplacé par aucun autre concept « computationnel » ou « syntaxique » n’ayant aucune portée référentielle. En d’autres termes, le concept de vérité tel qu’il est définit et élaboré dans la sémantique de Tarski s’applique sans aucune difficulté au cas des énoncés mathématiques : il est un concept sémantique et non pas une propriété simplement « algorithmique » des phrases et des symboles mathématiques.
Le réalisme de Quine et de Benacerraf est directement opposé à des formes d’antiréalisme dans la valeur de vérité logique telles que nous les trouvons chez Wittgenstein, Dummett, et Hilbert. Tous deux rejettent le concept tautologique de la vérité mathématique chez Wittgenstein-I, la propriété de « dérivabilité » en tant que pure propriété syntaxique formelle chez Hilbert, et surtout la notion modale d’assertabilité chez le philosophe d’oxford.
La vérité n’est pas à leurs yeux une simple affaire de langage. Au contraire, c’est une affaire qui concerne le langage de la science en tant qu’il nous engage sur la connaissance du monde environnant. Il y a des vérités mathématiques autonomes qui nous donnent une série indéfinie d’informations sur la réalité extérieure, et qui ne sont pas réductibles à des vérités purement logiques ou physiques.
Il est certes vrai que Quine et Benacerraf sont d’accord sur tous ces points, bien qu’ils expriment leurs vues avec des méthodes différentes. Or, ce qui les départagent réellement eu égard à la question du réalisme logique, c’est les solutions qu’ils donnent respectivement à ce qui est convenu d’appeler le problème de la vérité /preuve. En effet, le réalisme logique de l’un se démarque nettement de l’autre lorsqu’il devient question de déterminer la place de la vérification par rapport à la vérité et à l’admissibilité des objets mathématiques.
Quine défend une conception de la vérification selon laquelle la notion de vérité est première par rapport aux procédures de preuve. Cette conception est réaliste dans le sens où elle montre que ces procédures conduisent à l’admission des entités mathématiques. Contrairement à cette thèse, Benacerraf défend une conception de la vérification comme fondement de la vérité, et exclus toute interprétation de la vérification qui soit réaliste sur le plan de l’ontologie des mathématiques. Dans les deux cas, le réalisme logique n’exclut pas la notion de preuve, et reconnaît nettement son importance dans l’activité mathématique. Ses procédures non seulement ne rentrent pas en conflit avec la décision réaliste d’admettre le caractère vrai ou faux des assertions mathématiques, mais peuvent aussi être interprétées de manière à impliquer l’existence des différentes entités que présupposent les énoncés mathématiques vrais. Selon le réaliste en général, la démonstration ne peut pas constituer l’unique support de l’activité mathématique, car elle s’avère insuffisante lorsque nous aurons à mettre au point une théorie sémantique de sa vérité : Nous avons besoin d’une sémantique des mathématiques dans laquelle la notion de vérité occupe une place centrale, et soit transcendante par rapport aux conditions de vérification et de démonstration. Pour un réaliste comme Benacerraf qui nie la possibilité d’une version platoniste des procédures de preuve, la vérification est étroitement liée à la vérité. Benacerraf ne voit pas comment il nous est possible de séparer dans le contexte du travail mathématique les conditions sous lesquelles une proposition est dite être vraie ou fausse des conditions sous lesquelles cette proposition est prouvée ou réfutée. La notion de vérité dépend des moyens dont disposent les mathématiciens pour l’appliquer aux propositions, et la règle fondamentale d’une telle application consiste dans le fait d’être capable ou non à fournir des preuves. La vérité et la prouvabilité constituent dans le cas précis des propositions mathématiques deux faces d’un même acte. Par-là, mettre en valeur la vérité au détriment de la preuve, ne fait que préparer le terrain à une version platoniste de la vérification du genre que nous trouvons chez Quine, c’est-à-dire une version qui ne considère pas que l’usage des preuves puisse être incompatible avec l’existence des entités mathématiques.
Bien que Benacerraf soit favorable à une sémantique des énoncés mathématiques qui accorde aux procédures de vérification une place importante, il ne critique pas cependant le platonisme par le seul biais de ce problème de la vérité/preuve. Ce problème est une objection sérieuse contre le platonisme, mais l’argument essentiel qui motive l’antiplatonisme benacerrafien n’est pas constitué par les questions qui relèvent directement de ce problème, mais par des éléments strictement épistémologiques qui ont trait à la théorie causale de la connaissance. Car, ce problème conduit en vérité à douter aussi du réalisme logique, c’est le cas du moins de Dummett, et Benacerraf n’est pas du tout prêt à renoncer au principe d’une sémantique réaliste applicable à tous les énoncés en général, à condition qu’elle ait comme fondement une certaine réinterprétation « structuraliste » du concept de référence en mathématiques. Ainsi, en un bon réaliste, il croit que nous accédons aux vérités mathématiques principalement sur la base des propriétés structurelles des objets mathématiques, mais à la différence de Quine, il défend deux choses : d’abord, notre connaissance de ces vérités doit prendre en compte un certain rapport de causalité, et ensuite, nous n’intéressons aux objets mathématiques que du point de vue de leurs propriétés structurelles, puisque nous devons les éliminer tous finalement. Ces deux résultats sont sans doute les deux clés du programme antiplatoniste de Benacerraf. Mais cet antiplatonisme est bien spécial, puisqu’il partage beaucoup de points communs avec le platonisme, et il n’est pas aussi radical que ceux défendus par les intuitionnistes, les fictionnalistes, les formalistes, et les conventionnalistes.
Pour Benacerraf la vérité d’une proposition de la théorie des nombres par exemple dépend du système des nombres naturels en tant que structure abstraite, et non pas en tant que série d’objets déterminés et nettement identifiables dans une réalité mathématique transcendante par rapport à toute connaissance possible. La vérité de cette proposition peut donc être établie « réalistiquement » par rapport à cette structure dans laquelle les nombres ne sont que des points ou des positions, mais il est difficile de voir comment nous pourrions la séparer de notre capacité ou de notre incapacité cognitive à la vérifier en tant que telle via les procédures de démonstration propres aux lois élémentaires de la théorie des nombres.
L’importance accordée à la notion de vérification constitue l’un des résultats de l’argument antiplatoniste de Benacerraf. Car, si nous rejetons l’existence de ces entités que sont les classes, les fonctions, et tout le reste, puisqu’elles sont abstraites et se situent donc en dehors du champ de nos détecteurs sensoriels, les procédures de vérification et de preuve deviennent notre seul accès possible à la connaissance de la vérité ou de la fausseté des phrases dans les quelles figurent ces entités là, qui, en vérité, ne sont pas des entités du tout. Bien sûr, en tant que platoniste convaincu qui croit en l’existence de ces objets abstraits, Quine ne donne à ces procédures qu’une importance relative. Il ne relativise pas la vérité ou la fausseté des phrases mathématiques à notre structure cognitive et mentale. Ces phrases seront vraies ou fausses, même si nous cessions d’exister, et il y a des phrases mathématiques qui sont vraies sans que nous puissions un jour reconnaître ou démontrer leur vérité. Soucieux de l’objectivité des vérités mathématiques telles qu’elles sont utilisées dans les assertions physiques, Quine défend un concept sémantique de la vérité mathématique qui ne soit pas un cas particulier du concept de vérité en général. De ce point de vue, il est exclut de traiter ces objets comme de simples constructions mentales constamment reliées dans le temps à cette pratique. Ce que nous cherchons ne consiste absolument pas dans une description des circonstances effectives de la pratique mathématique, mais dans l’élaboration d’une théorie qui soit en mesure de nous fournir les traits philosophiques essentiels de la connaissance mathématique quant à son caractère scientifique, sa vérité et son ontologie.
Pour un antiplatoniste, cette conception de l’objectivité mathématique est non seulement incompatible avec celle dans laquelle cette même objectivité est identifiée avec la prouvabilité, mais elle rend tout usage de preuves et tout recours aux démonstrations en mathématiques impossibles. Comment ? Essentiellement, à travers la thèse réaliste qui dit qu’il y a une réalité mathématique indépendante de nous et ayant des propriétés objectives que nous nous contentions d’explorer comme le géologue ou l’astrophysicien ou le biologiste ou le chimiste, le font dans leurs explorations des propriétés des corps et de la matière en général. En effet, si le platoniste croit que les mathématiques portent sur des objets qui sont aussi réels que les corps, les pierres, les arbres, etc., il serait tout naturellement conduit à dire que les mathématiques affirment des vérités, et à relativiser le rôle des preuves dans leur formation. Pour le platoniste, les preuves restent secondaires par rapport à l’affirmation des vérités mathématiques, et doivent être au service de la recherche/invention de ces vérités. L’antiplatoniste, qui ne croit pas du tout que les mathématiques soient à propos de quelque chose de réel, refuse donc de considérer que la recherche et l’affirmation de vérités sont le but ultime du mathématicien. Pour lui, le travail mathématique est avant tout une recherche continue de preuves sans laquelle la connaissance mathématique elle-même serait impossible. Etant donné que les objets mathématiques n’existent pas, notre seule source d’information relative à ce travail n’est rien d’autre que le processus démonstratif lui-même qui permet de prouver les hypothèses et les théorèmes mathématiques.
Un antiplatoniste comme Benacerraf peut arguer donc l’absence de contact entre nos détecteurs sensoriels et les objets mathématiques abstraits, pour affirmer que notre source principale d’information lorsque nous faisons des mathématiques consiste dans notre effort à prouver ou à réfuter une hypothèse mathématique donnée. Par-delà un tel effort humain, Benacerraf ne voit pas comment nous pouvons accéder à la vérité des énoncés et des croyances mathématiques. L’importance des preuves vient sans doute de l’insistance sur le contexte socio-psychologique dans lequel émerge l’activité mathématique ; cette insistance a pour conséquence de replacer la recherche de la vérité dans le cas des hypothèses mathématiques dans un cadre social plutôt que dans un cadre théorique et épistémologique pure. Le platoniste s’abstient bien sûr de relativiser la vérité des énoncés mathématiques, via les procédures de démonstration, à un certain agent humain ou à un certain contexte social et psychologique contingent. Ces énoncés pour lui seront vrais même si nous cessons d’exister, et leur vérité n’est en aucun cas relative à notre structure psychologique ou à notre organisation sociale et politique. Dans ce sens, les procédures de preuve ne sont utiles à l’activité des mathématiques que parce qu’elles semblent être tout à fait compatibles avec une telle conception de la vérité en mathématiques et conduisent non pas à la négation des objets présupposés par cette vérité mais, au contraire, à leur admission.
Nous pouvons ainsi résumer le désaccord entre Quine et Benacerraf sur cette question dans les termes suivants : alors que la preuve sert uniquement chez le second à prouver qu’un théorème ou hypothèse mathématique donné est vrai, elle sert chez le premier à reconnaître l’existence d’une certaine catégorie d’objets mathématiques, car cette reconnaissance est un élément interne à la vérité de l’énoncé. La preuve peut donc être une source d’admissibilité ontologique, et non pas une simple construction mentale. A l’instar de l’intuitionniste, Benacerraf est obligé de donner une interprétation non platoniste de la notion de preuve en mathématiques. Mais le souci de Benacerraf c’est de s’atteler à une telle tâche sans renoncer à la place centrale accordée au concept de vérité dans son système antiplatoniste des mathématiques. Comme l’intuitionniste, il rejette l’image platoniste d’une réalité mathématique qui existe indépendamment de notre connaissance, mais reste en désaccord avec lui sur la détermination du rôle que joue la notion de preuve dans la critique d’une telle image. Pour un intuitionniste tel que Dummett, le seul moyen qui nous permet de dire qu’un énoncé mathématique est vrai c’est le fait de lui donner une preuve acceptable, non pas d’un point de vue formel ou structurel, mais dans des termes strictement intuitifs, car la preuve qui nous fait accéder à la vérité (ou plutôt à l’acceptabilité ou l’assertabilité) d’un énoncé mathématique n’est pas autre chose qu’une pure construction de l’esprit. Dans son admission de la notion de preuve, Benacerraf ne va pas jusqu’à une telle position idéaliste, car il fait recours pour sa part à des considérations « structuralistes » que l’intuitionniste rejette. Le structuralisme mathématique est au service d’un réalisme logique modéré qui intègre très bien la contribution positive des preuves dans l’effectuation du travail mathématique. Rejetant la transcendance de la vérité par rapport à notre connaissance de cette vérité à travers les preuves mathématiques, Benacerraf soutient un réalisme logique moins radical que celui soutenu par Quine, car la vérité ne transcende pas la preuve, mais se construit « réalistiquement » et en tant que notion objective en totale harmonie avec elle. En remettant en question l’existence mathématique même, Benacerraf trouve refuge dans une certaine compréhension de la créativité de l’esprit et de sa structure pour rendre compte de son réalisme modéré.
Or, comment Benacerraf, tout en privilégiant le rôle des preuves dans la formation de la vérité des assertions mathématiques existentielles et universelles, parvient-il à éviter l’antiréalisme de la vérité tel qu’il est mis en vogue par Dummett et les néo-intuitionnistes ?
Pour Benacerraf, le problème de la relation entre vérité et preuve en mathématiques se dissout une fois que le réalisme ontologique aura été éliminé. En effet, un énoncé numérique peut être dit vrai en fonction de deux critères : le premier critère est relatif à la structure des nombres, alors que le second repose plutôt sur la notion de preuve. Benacerraf ne voit pas pourquoi, selon l’intuitionniste, nous devons éliminer le premier au profit du second, et affirmer par la suite que le concept de vérité mathématique doit céder la place à la possibilité pour une assertion donnée d’être prouvée ou réfutée.
Ce qui est convenu donc d’appeler le problème vérité/preuve en tant qu’il constitue une objection au platoniste et le met en débat avec ses critiques antiplatonistes, est compris différemment par Benacerraf, puisqu’il partage, jusqu’à une certaine limite, le point de vue du platoniste aussi bien que de son adversaire antiplatoniste. En effet, il considère qu’une assertion mathématique donnée peut être vraie en vertu de la structure globale du système des nombres, et que la notion de preuve est tributaire de certains faits structuraux qui relèvent d’un tel système abstrait. Il arrive par-là à contrer l’argument des intuitionnistes et conserver le réalisme logique, puisque nous pouvons, selon lui, expliquer comment notre connaissance des structures ainsi que notre référence à ces structures sont toujours possibles.
Benacerraf semble donc chercher à concilier les deux critères qui rendent compte de l’acceptabilité des énoncés mathématiques et de leur trait de certitude: le critère de la vérité et celui de la preuve. Ainsi, notre connaissance de ces énoncés a, selon lui, deux sources : le système des nombres (naturels) et les procédures de démonstration et de calcul. Il nous est impossible d’acquérir une connaissance ou une forme de croyance certaine des énoncés mathématiques si nous nous contentions de regarder uniquement quel type de références certaines propositions mathématiques peuvent avoir par rapport à la structure du système des nombres, car nous avons besoin corrélativement de compter, de calculer et de démontrer, bref, de preuves. Sans la preuve, les propositions en question ne seront pas certaines et acceptables même si elles étaient affirmées comme vraies dans le sens les lois de la théorie des nombres.
Les raisons qui expliquent l’attitude de Benacerraf vis-à-vis du problème de la vérité/preuve s’enracinent certes dans sa théorie causale qui exige un rapport de « perception » et de cognition entre le sujet et l’objet de la connaissance. Il nous faut en outre distinguer la notion de preuve telle qu’elle est utilisée par lui de celle que nous trouvons chez les constructivistes, dans le sens évoqué par Dummett lorsqu’il parle d’une preuve constructiviste. Ce n’est pas la preuve de p qui fait que p soit vraie, mais cette preuve participe largement à la formation de la vérité de p qui n’est pas transcendante à notre cognition.
Il est probablement utile de distinguer aussi entre deux types de preuves : celle qui prouve et celle qui explique, et il est certain que la notion de preuve à laquelle adhère Benacerraf est la seconde, c’est-à-dire, celle qui explique pourquoi nous admettons la vérité de telle ou telle proposition mathématique. Si nous avons toujours besoin de la preuve, même au sens explicatif, pour croire en la vérité des propositions mathématiques, il nous faudra dès lors renoncer au statut de science accordé par les réalistes en épistémologie aux mathématiques. Or, ce n’est pas le cas avec Benacerraf. Bien qu’il donne une grande importance à la preuve dans la détermination de la vérité (et dans sa connaissance ), et bien qu’il soit contre la thèse qui atteste que les mathématiques, comme toute autre science digne de ce nom, étudient des faits objectifs dans une réalité autonome, Benacerraf semble très attaché aux deux types de réalisme qui sont la cible privilégiée des critiques constructivistes et instrumentalistes, à savoir le réalisme de la preuve et le réalisme en épistémologie.
Pour ces constructivistes et instrumentalistes, les mathématiques ne constituent pas une science véritable, puisqu’il n’y a pas de faits mathématiques, et qu’elles ne peuvent pas être traitées dans les termes de la vérité et de la fausseté logiques. Toute l’activité des mathématiques sera réduite, selon leur point de vue, à une simple pratique de "prouvabilité" des axiomes et des définitions et de toutes les autres hypothèses mathématiques. Un tel point de vue cherche à briser les liens entre les notions de preuve et de vérité et entre les objets mathématiques pour enfin réduire à néant toute plausibilité du platonisme.
Benacerraf ne rejette donc pas le platonisme par la voie logique ou sémantique. Son antiplatonisme n’est pas de type dummettien, car ce qui le gène vraiment avec le platonisme, ce n’est pas le fait qu’on y utilise une notion réaliste de vérité, mais plutôt la thèse de l’existence des objets mathématiques qui ne sont pas hélas localisables dans l’espace-temps, et qui n’ont, par conséquent, aucune action causale sur nous. L’antiplatonisme de Benacerraf a donc pour base une forme spéciale d’antiréalisme ontologique ou « existentiel ». Il est donc clair que la plupart des arguments qu’il utilise afin de justifier ce type d’antiréalisme ontologique sont puisés dans la théorie causale de la connaissance scientifique dont il est le fervent défenseur. Le noyau de ces arguments est constitué par l’idée selon laquelle le mathématicien doit être dans une relation « causale » avec les objets et les croyances qu’il prétend avoir, ce qui est impossible car les nombres cardinaux, les classes, les ensembles, les ensembles d’ensembles, les fonctions, etc., sont des objets abstraits qui ne peuvent avoir aucun contact « perceptif » avec nos détecteurs sensoriels. Si ces objets sont en dehors de l’espace et du temps (physiques), alors il serait quasiment impossible pour nous d’avoir une quelconque information ou croyance à leur sujet, et donc le platonisme est faux.
En vérité, Benacerraf suggère plutôt d’interpréter autrement la partie ontologique du platonisme, tout en acceptant ses parties logiques et épistémologiques réalistes. Pour lui, même la solution « réductionniste » qui consiste à déterminer la nature des nombres en les identifiant aux ensembles selon telle ou telle théorie parmi les théories modernes des ensembles ne peut pas justifier le platonisme via la justification du réalisme ontologique, car tout réalisme au niveau de l’existence des entités mathématiques abstraites est intenable.
Dans l’esprit même de l’entreprise benacerrafienne et par opposition à Quine, cette réduction assume plutôt la tâche d’un argument contre ce type de réalisme qu’on avait appelé l’argument de la multiple réduction, et ne peut en aucun cas rendre compte de ce que sont les nombres en les réduisant à d’autres entités plus basiques. En effet, si le réductionniste dit que nous pouvons définir la nature des nombres en les identifiant aux ensembles (ou à d’autres choses qui joueraient le rôle des ensembles), le problème devant lequel nous allons nous trouver est le suivant :
Les nombres sont-ils identifiables aux ensembles selon la théorie de Quine (NF), de Ferdinand Zermelo ou Hans Von Newmann ou Gottlob Frege ?
Pour Benacerraf, le fait qu’il puisse exister plusieurs façons incompatibles entre elles de réduire et d’identifier les nombres aux ensembles, montre clairement qu’ils ne peuvent pas être des objets déterminés, et donc qu’ils n’existent pas. Pour Quine, toutes les théories des ensembles donnent la structure requise des nombres, et c’est cette structure qui est le point important et non pas les divers objets qui peuvent en faire partie. Le structuralisme mathématique de Quine peut mieux être compris à la lumière de sa thèse sur la relativité de l’ontologie, et il est bien différent de celui admis par Benacerraf dans le sens où ce dernier s’en sert comme argument pour n’attribuer aucune réalité aux objets mathématiques abstraits, alors que la question de l’existence en mathématiques devient chez Quine une question sur quel type d’ensembles il faut choisir.
Contrairement à Benacerraf, Quine est un réductionniste. Toutes les mathématiques peuvent être regardées dans les termes de la théorie des ensembles, et si nous acceptions le critère d’engagement ontologique et nous l’appliquerions sur les théories mathématiques, nous devons admettre l’existence d’un certain type d’ensembles auxquels seront réduits les nombres en tant qu’objets selon la formulation logique suivante :

Pour les objets x et y, il existe un ensemble dont les membres sont x et y.

L’ensemble (x, y) est aux yeux de Quine un objet aussi réel que les entités non observables de la physique microscopique. Son admissibilité est inhérente à la vérité des assertions mathématiques dans lesquelles il figure. La définition structuraliste de la théorie élémentaire des nombres dans les termes d’un type spécial d’ensembles permet à Quine de justifier le platonisme dans le sens où la théorie des ensembles à laquelle sont réduites toutes les mathématiques devient une science ayant un sujet d’étude déterminé : les ensembles. Les nombres n’ont pas donc le statut d’universaux chez Quine, et ne sont pas considérés comme des propriétés pour les objets physiques. Le logicien de Harvard est opposé à l’emploi de ces deux notions réalistes douteuses, et préfère traiter les nombres comme des objets, c’est-à-dire, comme des ensembles, ou plutôt comme certains ensembles et non d’autres. Dans ce même contexte, il n’est pas non plus d’accord avec la thèse que défend P. Maddy[3] selon laquelle les nombres seraient les propriétés des ensembles. En critiquant tous les types de réduction de la théorie des nombres à la théorie des ensembles, Maddy prétend que l’une des conditions de cette réduction consiste dans le fait de traiter les propriétés des nombres comme des objets afin de les identifier enfin à des ensembles particuliers[4]. Quine ne requiert pas une telle condition pour sa conception de la réduction mathématique. Pour lui la question de la nature des nombres ne se pose pas dans les termes de la notion réaliste de propriété, mais dans ceux du choix de leur version ensembliste. Les questions de la nature et de l’existence des nombres n’a pas de sens au-delà de ce choix.
Benacerraf refuse bien sûr toute la démarche de Quine, et, contre la conception réaliste qui dit que les nombres sont des ensembles, il avance l’argument de la multiple réduction. Mais, à l’instar de son adversaire platoniste, il rejette la thèse selon laquelle les nombres sont les propriétés des objets physiques ou celles des ensembles ou des sortes de propriétés universelles tout court. Alors que Frege et Quine admettaient les nombres comme des objets (logiques dans un cas, et ensembliste dans un autre ), Benacerraf se montre radicalement opposé à une telle admissibilité. Les nombres ne sont à ses yeux que des points dans des structures et n’ont aucune identité par-delà leurs positions dans ces structures et les relations qu’ils entretiennent entre eux.
Ce qui est important avec tout système d’objets c’est sa capacité à former une progression récursive. Le propre de ce système c’est de se constituer de manière à ce que ses objets satisfont cette condition. La condition d’être un objet n’est pas requise du tout, car ce qui est requis essentiellement ce n’est pas l’objet mathématique dans son individualité, mais c’est la relation qu’il entretienne avec d’autres au sein d’une même structure en fonction d’une exigence précise et fondamentale : former une progression. Ce qui importe c’est la structure totale de tous les éléments qui la forment, et non pas chacun de ses éléments pris isolément de tout le reste.

«Objects, écrit Benacerraf, do not do the job of numbers singly ; the whole system performs the job or nothing does. I therefore argue....that numbers could not be sets , that numbers could not be objects at all ; for there is no more reason to identify any individual number with any one particular object than with any other. »[5]

Il est ainsi clair que pour Benacerraf, les nombres ne sont pas des objets du tout, car les seules propriétés des nombres qui ont une signification par rapport aux objectifs du travail mathématique, c’est de caractériser une structure abstraite, et même leur position en tant qu’objets individuels dans le modèle platoniste (si on pouvait se permettre de parler un tel langage) dépend essentiellement de cette capacité des nombres à caractériser une structure à travers les relations qu’ils entretiennent entre eux. Dans le cas des nombres, il nous est complètement difficile d’individuer les nombres séparément du rôle qu’ils jouent dans une structure donnée, ce qui veut dire, enfin de compte, que n’importe quel objet peut assumer un tel rôle sans aucune prédilection pour un type particulier d’objets.
Benacerraf défend au sujet de l’ontologie des mathématiques trois idées : Exister c’est être un objet individuel, dénoter un objet c’est dénoter un objet accessible à la perception, et enfin, les nombres et les ensembles ne sont pas les références des termes de nombre et des concepts ensemblistes, et par conséquent, ils n’existent pas en tant qu’objets individuels. Benecerraf rejette la notion d’existence mathématique dans toutes ces acceptions : les objets mathématiques, en tant qu’objets abstraits, n’existent ni en tant que propriétés des objets physiques ni en tant qu’objets possibles. Il n’est pas question de réinterpréter les affirmations existentielles des mathématiques selon des ressources logiques et modales non classiques, mais de les éliminer tout court. La « référentialité » des termes et des concepts du langage mathématique n’est qu’apparente, car les objets mathématiques n’existent pas. De son côté, Quine soutient le contraire : Exister c’est exister en tant que valeur de variable liée, et non pas en tant qu’objet, car il considère que l’existence n’a qu’un seul sens, et ne dépend pas directement de la nature intime des objets (Quine rejette également la distinction entre être et exister). A la question : Qu’est-ce qui existe ? , Quine répond, d’un air ironique certes, mais clair : Tout, à savoir les arbres, les vagues, mais aussi les électrons, les nombres, les ensembles, etc. Quine "uniformise" de cette manière les questions sur l’existence, permettant ainsi de distinguer, au sein de la théorie de la quantification, entre les emplacements réservés aux objets et ceux réservés aux prédicats. Cette uniformisation des questions ontologiques dans une formule simple et universelle, et cette distinction sujet/prédicat jouent, en connexion avec le concept d’identité et les manœuvres de paraphrase logique, un rôle capital dans l’approche ontologique Quine. En effet, les notions de référence, d’existence, et d’identité sont étroitement liées chez lui, et à plusieurs reprises, Quine parle de l’identité comme d’un critère ou condition d’admissibilité ontologique : « Point d’entité sans identité »[6]. Dans ce sens, l’existence des classes, des ensembles, des ensembles d’ensembles, des ensembles d’ensembles d’ensembles, ainsi de suite (qui sont bel et bien des objets abstraits) ne pouvait être admise par Quine, s’il n’existait pas des moyens qui permettaient de satisfaire cette condition d’identité dans le cas de tels objets abstraits.
C’est donc l’appareil logique de la quantification (que nous trouvons déjà chez Tarski dans ses travaux sur la vérité logique) qui requiert l’assomption des nombres comme des objets pour satisfaire les conditions de signification et de vérité des phrases mathématiques. Or, pour Benacerraf, si les énoncés mathématiques sont vrais dans les termes de la théorie de la quantification que propose Quine, alors les objets mathématiques existent, mais si ces derniers existent, ils existeraient en dehors de l'espace et du temps, car ils sont abstraits, et dans ce cas nous ne pourrons jamais les connaître et nous ne pourrons jamais déclarer les énoncés qui portent sur de tels objets comme étant vrais. Pour sa part, Benacerraf utilise le structuralisme pour réformer la sémantique et résoudre le dilemme de son incompatibilité avec l’épistémologie. Sans renoncer au principe du réalisme logique, cette réforme engendre une sémantique qui cherche à se démarquer de l’appareil logique de la quantification classique, c’est-à-dire, qui n’assume pas les diverses entités mathématiques comme des objets. Le critère quinéen d’engagement ontologique est rejeté, car son application au cas des phrases mathématiques nous oblige à assumer les nombres et les classes comme des objets, et à mettre sur le même plan objets concrets et objets abstraits : les présuppositions ontologiques de telles phrases sont vides, et en assertant leurs vérités, nous nous engageons sur aucune ontologie possible dans laquelle certains objets sont posés. La question de l’existence n’est pas une question strictement métaphysique et philosophique. Depuis les Principia de Russell, elle est devenue une partie intégrante de la formation du système logique lui-même, puisqu’elle ouvre sur des antinomies (tel que celui des existentiels négatifs) qui mettent en péril sa vérité et sa consistance. Le critère de Quine s’inscrit non pas dans un contexte philosophique large, mais dans ce contexte précis lié à la théorie logique. Il permet avant tout de clarifier tout débat sur la question des présuppositions existentielles des énoncés logiques en général. Ces énoncés ne portent pas, bien sûr, en eux-mêmes leurs présuppositions ontologiques, car il faut avant tout les convertir au formalisme de la logique du premier ordre. Cette conversion est une condition requise nécessairement par Quine pour que l’application de son critère d’engagement ontologique soit possible. Une deuxième condition est requise cependant, c’est l’extensionnalité. En effet, le critère de Quine doit être compris extensionnellement et non pas intensionnellement. Les nombres, les classes, etc., ne peuvent être dits exister, d’après l’analyse logique des structures des phrases mathématiques, que s’ils figurent dans les emplacements réservés aux variables de la quantification.
La variable est pour Quine « l’essence de l’idiome ontologique, l’essence de l’idiome référentiel.. »[7]. Contrairement à tous les autres symboles de la logique classique, la variable est le seul signe (ou particule logique ) qui possède une portée référentielle. Elle est une sorte de marque-place ayant pour fonction, une fois libre, de tenir lieu d’un objet, et devient désignative à partir du moment où elle est liée. Il est tout à fait possible de quantifier sur des objets qui ne sont pas pourvus de noms, tels que les objets mathématiques, car la valeur de la variable ne tient pas uniquement à la nomination, mais à l’étroite relation entre la prédication et la quantification. En fonction de ce principe, la valeur de variables est pour Quine « tout ce dont un prédicat est vrai », c’est-à-dire, tous les objetsdont certains prédicats d’une théorie quelconque ont à être vrais pour que cette théorie soit vraie.
Les variables quantifiées sont donc les seuls canaux de référence à des objets. Elles sont les seuls véhicules des engagements ontologiques et déterminent la force « existentielle » des théories.[8] Les marques-places des prédicats ou lettres schématiques (‘F’,’G’,..), ainsi que toutes les particules et constantes logiques, sont exclus du champ de la référence.

« La connexion, écrit Quine, entre la quantification et les entités extérieures au langage, qu’elles soient des universaux ou des particuliers, réside dans ce fait que la vérité ou la fausseté d’un énoncé quantifié dépend en général partiellement de ce que nous rangeons dans la classe des entités convoquées par la phrase « Quelque entité x » (Quantificateur existentiel x ), ou « Chaque  entité x « (Quantificateur universel x). Dire que les mathématiques classiques s’occupent d’universaux, ou qu’elles affirment des universaux, cela signifie simplement qu’elles requièrent des universaux à titre de valeurs de ses variables liées. »[9]


Quine ne met pas en question la force désignative de la variable liée dans le cas de la quantification sur les objets du discours mathématique. Dire qu’il y un nombre premier qui est supérieur à 1 million ne constitue pas une simple manière de parler. Une telle affirmation ne doit pas être interprétée de manière à ce que son sens soit complètement différent de celui désigné par le mot exister dans le langage ordinaire. Mais, la notion d’existence chez Quine doit être comprise en relation étroite avec l’indétermination de la signification et de la référence des termes. Nous ne pouvons pas dire ce que les termes d’une théorie signifient et dénotent absolument parlant, mais nous pouvons dire seulement comment une théorie est interprétable dans une autre. Or, l’argument d’indétermination tel qu’il est utilisé par Quine pour repousser la théorie de la vérité-correspondance et le platonisme fort des classiques, ne met pas en question l’univocité de la notion d’existence et l’application du critère d’assomption ontologique dans le cas des énoncés mathématiques. Cet argument ne plaide pour aucun rejet de la notion d’existence mathématique et pour aucune distinction entre cette notion et celle d’existence physique.

« Quand, écrit Quine, nous disons par exemple : (Il existe x) (x est un nombre premier & supérieur à 1.000.000 ), nous sommes en train de dire qu’il y a quelque chose qui est premier et supérieur à un million; et pareille entité est un nombre, donc un universel. En général, une entité est un élément d’une théorie si et seulement si elle doit être considérée parmi les valeurs des variables, de telle sorte que l’énoncé asserté dans la théorie soit vrai. »[10]




Références bibliographiques:

Benacerraf (Paul) & Putnam (Hilary): Philosophy of mathematics:
Selected Readings. 2nd Ed. New York: Cambridge University Press, 1983
_________1984: Comments on Maddy and Tymoczko, PSA Vol 2,pp.476-485.
-----“ What Mathematical Truth could not Be—I” in Morton, A. and Stich,
Ed. Benacerraf and his critics, (Cambridge: Blackwells, 1996.)
“ An interview with Paul Benacerraf” June 2000(Revue The dualist)
Princeton University.

Quine (W.V) 1977: Ontological Relativity and Other Essays. Columbia University Press, New York. Traduction française: Relativité de l'ontologie et autres essais. J. Largeault, Aubier Montaigne, Paris 1978.
_________1953: From a Logical Point of View, Harper Torchbooks, New York.
_________1960: Word and Object, MIT Press, Cambridge, MA and London.
_________1966: The Ways of Paradox and Other Essays, Randon House, NY
_________1981: Theories and Things, Belkanap P/HUP, Cambridge.
_________1995: From stimulus to science, HUP.

Boudot (Maurice) 1975 : "L'identité des possibles", Revue de Métaphysique et de Morale, 80ème Année, N°3.
Gochet (Paul) 1978: Quine en perspective, Flammarion.
Hookway (Christopher): Quine. Traduction française J. Colson.
Schilpp, P. A. Ed 1986: The Philosophy of W.V.Quine, Open court.
White (Nicholas P.) 1974: " What Numbers Are", Synthese 27, pp.111-127.
[1] Le dilemme de Benacerraf, c'est l'obligation de choisir entre deux thèses contraires qui pose chacune des problèmes et présente des désavantages, à savoir la thèse de l'existence des objets mathématiques et la thèse de leur cognition.
[2] Par « scientificité », je veux dire le statut de science pour une forme quelconque de connaissance. Cette forme doit posséder surtout un sujet d’étude indépendant, et une méthode propre. Le premier peut être défini comme un domaine d’objets, et le second comme un langage.

[3] Contrairement à la conception réductionniste de Quine vis-à-vis des nombres, elle défend une conception qu’elle appelle le réalisme selon la théorie des ensembles (set-theoretical realism). Selon cette conception, les nombres seraient les propriétés des ensembles ou en d’autres termes les propriétés non pas des concepts mais des extensions des concepts. De ce point de vue, la théorie élémentaire des nombres n’est plus réduite à la théorie des ensembles, mais devient simplement incluse dans le domaine de cette dernière. Nous pouvons donc conclure que l’entreprise quinéenne de réduire toutes les mathématiques classiques à la théorie des ensembles échoue selon Maddy et selon son réalisme ensembliste (qui est une forme de platonisme).
[4] Voir P. Maddy : « Sets and Numbers »,
[5] P. Benacerraf : « What numbers could not be”, dans : Philosophy of Mathematics, Op.Cit, pp. 290.291.
[6] « Ce principe, écrit M.Boudot, est à la base de l’ontologie de Quine qui l’utilise fréquemment, même s’il le formule rarement. » Voir son article : « L’identité des possibles »  Revue de Métaphysique et de Morale, Juin-Septembre 1975, 80ème année, N° 3, p.329.
[7] W.V. Quine : « The Variable », dans : The Ways of Paradox. p 272.
[8] D’après Carnap dans Meaning and Necessity , Quine est le premier à avoir reconnu l’importance de l’introduction des variables pour parler de l’admission des entités.
[9] W.V.Quine: « Logic and the reification of universals », in: From A Logical Point of View, 9 Logico-Philosophical Essays. Cambridge: Harvard University Press;2nd ed.,1961.p.103.
[10] Ibid p.103.


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