DOGMA

Abdelkader Bachta (Tunis)


La physique mathématique dans l’Analytique des principes
Un concept kantien achevé


L'analytique des concepts définit la physique comme mathématique puisque les catégories y sont nécessairement liées à l’intuition pure . Le schématisme permet à l’auteur de s’assurer de cette relation ; le schème est ce qui homogénéise l’intellectuel et le sensible, ayant trait lui-même à ces deux termes préalablement hétérogènes.
Mais c’est dans l’Analytique des principes (1) que le concept de physique mathématique s’achève parce qu’on y établit les principes métaphysiques fondateurs. Le projet de déterminer une métaphysique de la nature, qui répond, au fond, au rôle que donne Kant au philosophe à l’égard de la science, est effleuré dans la dialectique, par exemple, et réalisé dans Premiers principes de la science de la nature, mais différemment (2).
Justement la démarche de l’auteur dans le texte qui nous occupe est la suivante :
1) Scindant méthodologiquement la physique mathématique en deux, il précisera :
a)Les principes métaphysiques sur lesquels reposent les principes proprement mathématiques et qui sont : « les axiomes de l’intuition » et « les anticipations de la perception ».
b)Les principes métaphysiques fondant les principes précisément physiques qui sont « les analogies de l’expérience » (reprenant en fait l’idée essentielle dans l’ Analytique des concepts de l’application des catégories à l’intuition, puisqu’elles seront dites dans le temps) et « les postulats de la pensée empirique en général » (3).
Cette métaphysique à deux visages permet de prévoir les principes proprement scientifiques (à la fois mathématiques et physiques) que visent Kant et repose, en fait, à quelque nuance près, sur la double distinction kantienne bien connue entre : 1)L’a priori et l’empirique, 2) et au sein de l’a priori entre métaphysique et mathématique(3 bis).
2)L’auteur déterminera, toujours métaphysiquement, les fonctions respectives de la physique et des mathématiques. Il apportera ainsi, en utilisant les éléments que l’histoire a mis à sa disposition, une solution à un problème général relatif à la priorité de la physique ou des mathématiques au sein de la synthèse. En effet, interprétant, en somme, l’appel platonicien portant initialement sur l’astronomie, puis généralisé graduellement à toutes les branches de la physique, et qui fait que, comme le note Comte dans la troisième leçon, les mathématiques sont un instrument de mesure des phénomènes naturels, les uns (à leur tête, Poincaré) pensent que la physique est la mère nourricière des mathématiques, les autres, tel Einstein , au contraire, que celles-ci contiennent les éléments entiers de la nature(4).
Nous voulons comprendre le concept kantien de physique mathématique. Pour cela nous allons porter notre attention sur les deux moments de la métaphysique que contient ce chapitre de la Critique de la raison pure. Nous déterminerons d’abord les principes métaphysiques en question et les principes proprement scientifiques qui leur correspondent. Après quoi, nous nous occuperons de la solution kantienne du problème des rôles de la physique et des mathématiques.

I - La dimension mathématique : Les principes métaphysiques et les principes proprement mathématiques

1-Le principes métaphysiques :Les axiomes de l’intuition et les anticipations de la perception

a)Les axiomes de l’intuition : Le principe général en est, d’après la première édition, que : « Toutes les intuitions sont des grandeurs extensives », mais comme il s’agit, plus précisément, de la grandeur des phénomènes, l’auteur énonce la même idée, dans la deuxième édition, mais ainsi : « Tous le phénomènes sont, quant à leur intuition une grandeur extensive ».
Or « la grandeur extensive » est, selon Kant, celle dont, la représentation des éléments infinitésimaux rend possible l’idée du tout. Ce qui signifie, finalement, que le principe métaphysique en question concerne les phénomènes conçus comme des grandeurs qu’on peut reconstituer graduellement à partir de leurs plus petites parties ».
b)Les anticipations de la perception : Dans la première édition, l’auteur définit comme suit leur principe général : « Dans tous les phénomènes, le réel, qui est un objet de la sensation, a une grandeur intensive, c'est-à-dire un degré « Dans la seconde édition, Kant fait apparaître le réel correspondant à la sensation et formule le même principe de la façon suivante : « Dans tous les phénomènes, la sensation et le réel qui leur correspond dans l’objet ont une grandeur intensive ».
Mais qu’est-ce que « anticiper » et qu’est-ce qu’ « une grandeur intensive »  ?
-« L’anticipation » est, d’après le texte kantien : « ...toute connaissance par laquelle je puis connaître et déterminer a priori ce qui appartient à la connaissance empirique ». Seulement, il n’est pas possible, pour notre philosophe, de connaître, à proprement parler, a priori la sensation, mais plutôt la forme qui lui correspond. Par conséquent « anticiper » signifie, en définitive, déterminer et connaître la forme correspondante au réel, à la sensation.
-Par ailleurs, « la grandeur intensive » est celle où « la pluralité ne peut être représentée que par l’approche de la négation = 0 ... ». En somme, on est à un niveau opposé à celui de « la grandeur extensive », où le phénomène est considéré comme une grandeur contenant une pluralité, qui peut diminuer jusqu’à parvenir à un élément infiniment petit, une limite.


2 - Les principes proprement mathématiques : Les principes newtoniens du calcul des fluxions

Ces deux principes métaphysiques renvoient certainement à la continuité mathématique. Kant cite, à ce propos, abondamment le modèle géométrique qui répond effectivement au besoin. Mais c’est le calcul infinitésimal au sens newtonien (ou calcul des fluxions) qui est la finalité ultime de notre auteur, comme nous l’avons déjà montré (5).
Pour le prouver ici signalons simplement que :
a)Kant utilise pour désigner la continuité le langage en usage chez le mathématicien anglais comme celui de naissance en parlant de « la grandeur extensive », celui d’évanouissement en traitant « la grandeur intensive ». Les termes newtoniens de « fluxion » et « fluente » se rencontrent aussi dans le texte.
b)Kant situe comme Newton le continu dans le temps en s’opposant au rationalisme extrême de Leibniz dans ce domaine. (D’ailleurs le langage dont on vient de parler et qu’utilisent les deux auteurs illustres en témoignent également). C’est, en tout cas, ce dont on peut s’apercevoir aisément en lisant le texte qui nous occupe où « grandeurs extensives » et « grandeurs intensives » ont lieu nécessairement dans le temps, et les 11 lemmes de la première section du livre1, mais aussi le lemme 2, de la section 2, du livre 2 des Principia, où la notion de limite, noyau du calcul des fluxions, ne se comprend qu’en rapport avec le temps.
On peut dire, en définitive, que les principes métaphysiques kantiens portant sur « les grandeurs extensives » et « les grandeurs intensives » correspondent aux principes mathématiques newtoniens relatifs aux quantités naissantes et évanouissantes qu’établissent les lemmes indiqués.



II - La dimension physique : Les principes métaphysiques et les principes proprement physiques :

1-Les principes métaphysiques : Les analogies de l’expérience et les postulats de la pensée empirique en général
(6) :
a)Les analogies de l’expérience. Le principe général en est : « L’expérience n’est possible que par la représentation d’une liaison nécessaire des perceptions ». Voulant mettre en relatif la notion de phénomène dans sa relation avec celle d’existence, l’auteur formule le même concept, dans la seconde édition en disant : « Tous les phénomènes sont soumis a priori, quant à leur existence à des règles qui déterminent leurs rapports entre eux dans un temps ».
Un regard sur la suite du texte permet d’établir ceci : La première analogie concerne la substance (ou permanence) dans le temps « Dans tout changement des phénomènes la substance persiste et son quantum n’augmente, ni ne diminue dans la nature... » Quant à la seconde analogie, elle intéresse la succession dans le temps (ou le changement d’état de la substance dans le temps) et engage la causalité. « Tous les changements arrivent suivant la loi de liaison de la cause et de l’effet », nous dit Kant. Le troisième principe porte sur la simultanéité des phénomènes que le philosophe considère comme une action réciproque universelle (où « communauté universelle » et l’auteur insiste beaucoup sur cette expression), Toutes les substances en tant qu’elles peuvent être perçues comme simultanées dans l’espace, sont « dans une action réciproque universelle ».
b)Les postulats de la pensée empirique en général. Toutes ces analogies se situent à un niveau où on peut étendre la connaissance (synthétique a priori) en établissant des lois (proprement physiques). En revanche, « les postulats de la pensée empiriques en général » existent sur un terrain où les catégories, en l’occurrence celles de la modalité, « n’augmentent nullement, comme détermination de l’objet, le concept auquel elles sont toutes jointes comme prédicats ». C’est pourquoi ces principes ne sont rien d’autres que des explications de :
-La possibilité, c'est-à-dire de l’accord avec les conditions formelles, intuitives et conceptuelles, de l’expérience.
-La réalité qui engage la sensation et qui implique la cohésion complète avec les conditions matérielles de l’expérience.
-La nécessité qui entraîne une concordance parfaite avec les conditions à la fois formelles et matérielles de l’expérience.
Ces postulats ne sont, en fin de compte, que de simples règles ou préceptes qui servent à évaluer le degré (ou le niveau) de la certitude physique.

2 - Les principes proprement physiques : Les lois newtoniennes du mouvement dépourvues de leur en soi :

Mis à part les postulats qui ne donnent pas de lois et qui se contentent de circonscrire l’échelle de la certitude scientifique, « les analogies de l’expérience » semblent nous renvoyer aux lois du mouvement comme elles sont énoncées dans les Principia de Newton. Le premier principe concernerait la loi de l’inertie qui, effectivement, repose sur l’idée de permanence (du mouvement uniforme ou du repos). Le principe de la succession intéresserait plutôt la seconde loi qui, en effet, s’occupe du changement causé par l’intervention d’une force extérieure. Enfin, le principe relatif à l’action réciproque nous fait penser, à juste titre, à la troisième loi newtonienne de la quelle découle, dans le troisième livre des Principia, celle de l’attraction universelle que Kant paraît plus spécialement viser dans son texte en insistant sur l’expression « communauté universelle » à quoi il donne manifestement un sens newtonien.
Cependant l’identité entre nos deux auteurs n’est pas parfaite à ce niveau. Ils s’écartent sur le plan de l’objet de la physique. On sait que, pour Kant, le champ où se déploient les lois du mouvement est phénoménal , ce qui n’est pas du tout évident chez son prédécesseur Anglais. De plus, le philosophe allemand n’accepte pas l’idée d’un repérage absolu, qui est le fondement des lois newtoniennes. L’intuition pure où ont lieu la permanence, la succession et la simultanéité n’est pas un absolu. D’ailleurs, on sait que Kant critique explicitement et violemment l’espace et le temps absolus dans la Dissertation de 1770 (7).
Par conséquent, la ressemblance entre les deux auteurs est formelle. Pour que les lois newtoniennes soient tout à fait conformes au discours métaphysique kantien, il faut les débarrasser de leur portée nouménale en remplaçant la chose en soi par le phénomène et l’absolu spatial et temporel par l’intuition pure.

III - Les fonctions physique et mathématique : régulation et constitution :

1-La fonction régulatrice de la physique
La métaphysique de la nature déduisant (au sens kantien) les principes proprement physiques souligne avec force à ce niveau l’idée de rapport d’existence. Ce qui signifierait que la fonction spécifique de la physique serait d’établir les relations d’existence des phénomènes. Kant nous dit effectivement,par exemple, en parlant des analogies : « ...Ces principes ont ceci de particulier qu’ils n’examinent pas les phénomènes et la synthèse de leur intuition empirique, mais seulement l’existence et leur rapport entre eux, relativement à cette existence... ». Plus loin, il clarifiera davantage cette idée et fera apparaître la différence entre les trois analogies en indiquant les trois genres de relation en question, savoir : la permanence, la succession et la simultanéité...
De toute façon, le terme d’ « analogie » est d’origine mathématique ; l’auteur en modifie légèrement la signification initiale en conservant l’essentiel qui est le concept de rapport. C’est, en tout cas, ce dont on peut se rendre compte en lisant la preuve du principe général des analogies de l’expérience. Mais notre philosophe poussera très loin cette fonction accordée à la physique en disant qu’elle est simplement régulatrice. « Ces principes ne concerneront que le rapport d’existence et ne peuvent être que des principes régulateurs ».
L’inconvénient est que les idées transcendantales seront dites, à leur tour, régulatrices. C’est un véritable problème dont Kant se verra obligé de s’en expliquer dans l’Appendice de la Dialectique en disant : « ...Malgré cette distinction, les lois regardées comme dynamiques sont bien entendu constitutives par rapport à l’ expérience, en rendant possibles a priori les concepts sans lesquels aucune expérience n’a lieu. Les principes de la raison pure, au contraire, ne peuvent jamais être constitutifs par rapport aux concepts empiriques... » (8) . Kant nous semble penser ici à la physique dans son lien avec les mathématiques qu’il n’en a jamais séparées dans ce chapitre conformément d’ailleurs à l’enseignement de l’ Analytique des concepts. Mais si nous vidons la physique de son contenu mathématique en la considérant comme une sorte de squelette, d’armature, nous croyons que le terme de « régulateur » peut ici s’appliquer parfaitement... L’hésitation de notre philosophe est certaine à ce niveau.
Cette réflexion mise à part, le mot de « régulateur » peut être considéré comme indiquant une sorte d’allégorie pour mettre en relief l’idée de rapport d’existence dont s’occupe la physique.
Or, les lois du mouvement dont on a dit qu’elles correspondaient à la métaphysique de la nature que Kant pose pour la physique ont bien ce caractère de rapport d’existence... On peut dire, en effet, que la loi de l’inertie porte, pour ainsi dire, sur le rapport du corps avec lui-même en tant qu’il persiste dans le repos ou dans le mouvement rectiligne et uniforme, que la seconde loi intéresse la relation entre les états d’un mobile qui change de direction sous l’effet d’une force extérieure et que la loi de l’action et de la réaction, qui a donné lieu chez Newton à la loi de l’attraction universelle, idée que Kant a bien comprise, implique le rapport entre deux ou plusieurs corps qui sont dans un état d’influence mutuelle. En tout cas, tout cela est contenu en filigrane dans le texte qui nous occupe.

2 - La fonction constitutive des mathématiques
 :
Kant paraît accorder aux mathématiques un rôle plus important, une fonction de priorité au niveau de la métaphysique qu’il en donne. On peut lire, par exemple, à propos des « axiomes de l’intuition » : « L’intuition empirique n’est possible que par l’intuition pure..., ce que la géométrie dit de celle-ci vaut donc sans contredit de celle-là... ». Il est possible de rencontrer l’équivalent de cette citation lorsque l’auteur passera aux « anticipations de la perception », où il insistera notamment sur la justification mathématique du plein en s’opposant, sur ce point, à Newton et en plaidant en faveur de Leibniz qu’il ne cite pas de nom.
Tout compte fait ce texte de la Critique de la raison pure montre que les mathématiques sont fondatrices et force le lecteur à se souvenir de la préface des Premiers principes de la science de la nature, où ce point de vue est souligné dans le même style à peu près. On peut lire, en effet, dans cette préface par exemple : « ...il n’y a de science proprement dite qu’autant qu’il s’y trouve de mathématique, car d’après ce qui précède, une science proprement dite , de la nature notamment, exige une partie pure sur laquelle se fonde la partie empirique et qui repose sur la connaissance a priori des choses de la nature » (9).
Mais l’auteur semble aller encore plus loin quand, comparant « les principes dynamiques » aux « principes mathématiques », il qualifie ceux-ci de constitutifs, c'est-à-dire de producteurs des phénomènes comme l’explique Kant lui-même, « suivant les règles d’une synthèse mathématique, aussi bien selon leur intuition (allusion aux « axiomes de l’intuition » ) que selon le réel de leur perception (là ce sont « les anticipations » qui sont visées »). Nous comprenons, maintenant, pourquoi « les lois regardées comme dynamiques » sont constitutives contrairement aux idées transcendantales ; elles tireraient cette caractéristique de leur lien avec les mathématiques.
Cependant si les mathématiques permettent de produire les phénomènes, ne peut-on pas écarter la physique dans une métaphysique de la Nature. La réponse de Kant sera affirmative dans les Premiers principes métaphysiques de la science de la Nature, où il joindra la possibilité de la matière, entendez le niveau mathématique en excluant les principes dynamiques, et les catégories, les seuls « concepts de l’entendement qui puissent s’appliquer à la nature » (10). Cette idée de constitution mathématique peut se confirmer si on revient aux principes mathématiques proprement dits, c'est-à-dire aux lemmes newtoniens régissant la continuité. Celle-ci se présente, en fait, comme une sorte de texture des relations que définissent les lois du mouvement. En effet, sans la continuité temporelle, ces rapports d’existence ne se comprendraient pas, ce qui est évident d’après ce qui précède. Ce n’est pas clair, pensons-nous, dans l’exposé newtonien de ces lois, conformément d’ailleurs au style général de Newton dans les Principia excluant le calcul infinitésimal, à quelques exceptions près, même s’il en indique, comme on a déjà vu, les principes fondateurs(10 bis).
Mais c’est plus net chez Kant qui voit un parallélisme certain entre la continuité temporelle (c'est-à-dire mathématique) et la continuité intellectuelle (existence, physique) où la première est nécessairement fondatrice de la seconde. «Ainsi donc, de même que le temps contient la condition sensible a priori de la possibilité d’une progression continue... de même l’entendement au moyen de l’unité de l’aperception est la condition a priori de la possibilité d’une détermination continue de toutes les places dans ce temps... ». Ce n’est pas du tout étonnant, car le dix huitième siècle a vu la nécessité du calcul différentiel et intégral en physique et a traduit le contenu des Principia dans cette langue mathématique. D’ailleurs, d’après ce qui précède, la mathématique que la philosophe voit nécessaire à la physique, est celle de la continuité au sens newtonien. Tout cela constitue, en fait, une confirmation a posteriori de notre point de vue relatif à la grande ressemblance entre Newton et Kant au niveau du concept de mathématique, contrairement aux différences mécaniques(11).


Conclusion

La métaphysique contenue dans l’Analytique des principes nous fait donc découvrir :
1°)Le contenu scientifique de la physique mathématique qu’elle se propose de fonder. L’aspect mathématique en serait le calcul des fluxions. Quant à la face strictement physique, elle y serait représentée par les lois du mouvement et celle de l’attraction universelle, comme elles se trouvent dans les Principia de Newton, mais dépourvues de leur en soi et pourvues clairement de leur texture infinitésimale.
Il est évident que ce concept est différent, contrairement à ce qu’on peut penser, de celui de Newton. En fait, Kant se distingue de son prédécesseur anglais au moins à deux niveaux :
a)Celui de l’objet physique et de son repérage. Le penseur allemand pense, en effet, en termes de phénomènes et d’intuition pure, alors que le savant britannique opte pour la chose en soi et l’absolu spatial et temporel.
b)Le plan de l’instrument mathématique où le philosophe nous a paru insister davantage sur le calcul infinitésimal ; en cela il est d’ailleurs fils de son siècle.
C’est plutôt du côté des mathématiques que Kant nous semble le plus proche de Newton puisqu’il fait science la conception du calcul différentiel et intégral du savant.
2°)Les fonctions des mathématiques et de la physique dans la relation qui les unit. Les premières seraient fondatrices et même constitutives, alors que la seconde se contenterait d’établir des rapports d’existence, voire de régulariser.
Tout compte fait, les mathématiques seraient largement et fondamentalement prioritaires chez Kant qui rejoindrait ainsi ceux, comme Einstein, qui soutiennent, toute proportion gardée, la prééminence de cet aspect en physique mathématique. Après tout, on peut penser que l’opération de mesurer présuppose que l’instrument de mesure soit conçu comme fondement. Kant aurait ainsi déterminé la condition de possibilité de l’opération en question, mais chez lui la physique doit le payer en idéalisant son sujet et en « phénoménisant» son objet.


Notes

(1) Nous utilisons l’édition de la pléiade, Gallimard 1980, p.893 – p.970.
(2)
a) Cf la Dialectique, section intitulée, discipline de la raison dans son usage dogmatique.
b) Cf la préface des Premiers principes métaphysiques de la nature. Vrin, 1971.
c) En ce qui concerne la fonction du philosophe, cf par exemple, la même préface (Ibid).
(3) Ces principes seront appelés, dans le texte, respectivement des « principes mathématiques » et « des principes dynamiques », mais Kant dit en substance qu’il s’agit de principes métaphysiques fondant les principes scientifiques.
(3 bis) Cf Dialectique et Préface (Ibid).
(4) L’inconvénient est que Kant ne va distinguer au niveau de la physique entre l’a priori et l’empirique, ce qui donnera lieu à une hésitation qu’on notera cf la Dialectique (ibid) et la préface des Premiers principes (ibid) par exemple.
(4) En ce qui concerne la situation des mathématiques en physique cf notre livre, L’esprit scientifique et la civilisation arabo-musulmane, L’Harmattan 2004, première partie. Pour ce qui est d’Einstein, cf, Einstein, Comment je vois le monde, Flammarion 1979, p.165.
(5) Cf notre livre, L’espace et le temps chez Newton et chez Kant, L’Harmattan 2002, 2éme partie, 2é section.
(6) Kant explique l’application du qualificatif « dynamique » à ces principes à la page 946 (ibid) en disant en substance qu’il s’agit de l’activité de l’entendement et non de la réceptivité de la sensibilité (comme c’est le cas au niveau des principes dits mathématiques).
(7) Cf par exemple l’édition de Vrin 1976, paragraphes 14 et 15.
(8) Ibid, page 1262...p.1263.
(9) Ibid, page 11.
(10) Ibid, page 16...page 17.
(10 bis) Cf notre livre sur L’esprit scientifique et la civilisation arabo-musulmane. Même partie (Ibid).
(11) Cf notre livre sur Kant et Newton, où cette idée est centrale. D’autre part, signalons que nous avons commencé cette 3éme rubrique par la physique, car c’est plus clair, et que nous avons négligé les postulats qui n’auraient rien ajouté à notre analyse.


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